Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
со
Po (р. + І г; (On)=Const. (31.1)
п = 0
В силу этого условия часть полного тензора натяжений (30.11) оказывается постоянным вдоль жидкости равномерным давлением, не дающим никакого вклада в действующую на тело полную силу; для определения искомой силы фактически достаточно писать тензор натяжений в среде 3 в виде
OO
^ = -^2'!?^)^?С. П <»„)—§Л*®н(г, Г; <0„)] +
п=О
+ ®й(г, г; (on) — у8«©н(г. г; ш„)}. (31.2)
Направим ось х перпендикулярно к плоскости щели, ширину которой обозначим посредством I (так что поверх- § 31] МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СИЛЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 349
ностями тел 1 и 2 являются плоскости X = 0 и X = 1). Тогда сила F, действующая на единицу площади и поверхности тела 2, равна
СО
п = О
-Dfr(Л к «„)]+-(/, /; <оя)+ $?(/, /; %)-SD" (Л /; «¦>„)};
(31.3)
положительная сила соответствует притяжению тел, отрицательная — отталкиванию.
Гриновская функция SDift (г, г'\ шп) в силу однородности задачи в направлениях у и z зависит только от разностей у — у' и Z — z'. Произведем преобразование Фурье по этим переменным
Tbik(x, X'; q-, COn) = / »-^-'V-*') JDtft (г, г'; %) Х
Xd(y — y')d(z — z')
и направим ось у вдоль вектора q. Уравнения (28.18) для
функции Грина примут вид
[w2 -= - 4118 -
H - ш) (х' х'} +iq І х>) =
W2^xy (X, X') + iq ~ SDyy (X, X') = О, ^2SD „ (X, *') + iq JL ®ху (Xt х>) = - 4тг§ (X - у),
(ew" — ш) +lq =
где w = Vsw2n -)-q2, а х' играет роль параметра (компоненты гриновской функции SD^2, SDy2 равны нулю, поскольку уравнения для них оказываются однородными).
Решение этой системы сводится к решению всего двух уравнений:
(«"-A)®«^ *') = -4*8 (*-*'). (ЗМ)
К--ш)3^<*• х"> = '^4x~Х>)' 350 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В ПОГЛОЩ.МОІЦЕЙ СРЕДЕ [ГЛ. Vl
после чего Vry и Vxx определяются как •Т) — d У)
fuXy- W2 dx Vyy ,
¦ И Л (31-5)
V Ць(х-х').
XX wi dx хУ W1
Краевые условия, соответствующие непрерывности тангенциальных компонент напряженностей электрического и магнитного полей, сводятся к требованию непрерывности
величин V%, Ъук, Vzk, V%, или. что т0 же самое, к непрерывности величин Vyk, rEzk, XOiylVlk, XOizlVlk. Используя первое из равенств (31.5), получим, что на границе раздела должны быть непрерывны величины
а- ®»»< ^dj+- <31-6>
Поскольку мы интересуемся лишь гриновской функцией в области щели, мы можем сразу ограничиться случаем 0 < х' < I. В области 3 (0 <, х <. I) функции Vyy и Vzz определяются уравнениями (31.4) с s = s3, w =W3 =
= Vz3Mn +-q2- В областях 1 (х < 0) и 2 (х >/) они удовлетворяют тем же уравнениям без правых частей (поскольку здесь всегда х Ф х'), соответственно, с S1, W1 и s2, W2 в качестве s, W.
Упомянутое в конце § 30 вычитание сводится к тому, что из всех функций V в области щели следует вычесть их значения при s1 = s2 = s3, W1 = W2 = W3. Вследствие этого, в частности, можно сразу опустить член с 8-функцией во втором из соотношений (31.5), так что функции Vxy, Vxx в области щели определяются формулами
(3L7)
Прежде чем приступить к . решению уравнений, сделаем еще одно замечание. Общее решение уравнений (31.4) имеет вид fx(x — х')-\~f2(xX'). Используя уравнения (31.4),
(31.7) и определение функций Vе и Vh, можно показать, что части гриновских функций, зависящие от суммы х -f- х', не вносят никакого вклада в выражение (31.3) для силы. Мы § 31] МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СИЛЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 351
не останавливаемся здесь на этом, так как этот результат заранее очевиден из физических соображений: положив х = х' в решении вида /2 (х х'), мы бы получили поток импульса в щели, который зависел бы от координат, в противоречие с законом его сохранения. Поэтому в дальнейшем мы будем, как правило, приводить только выражения для частей гриновских функций V+, зависящих лишь от х — х'.
Перейдем к нахождению функции Vzz. Она удовлетворяет уравнениям
(
w\ — -J^) Vzz = — 4тг8 (х — х') при 0<*</,
Н-ій®«=0 при *<0; H-A) 3^=0 при x>L
Отсюда находим:
Vzz=AewS при х<0, Vzz = Be-w^x при х>1. <^zz = Clew^+-C2e-w^: —~e-w^x-x'\ при 0 <х<1.
Определяя постоянные А, В, Cv C2 из граничных условий непрерывности Vzz и , находим для Vtz'-
Vtz = J^ Ch ^3 (х- X')-]Х'хЧ при О <х<1, где
A= 1 —(">¦ +«з) («, + «,) . (318)
(Wi-W3)(W2-W3)
Вычитая значение Vtz при W1 = W2 = W3 (при этом Д обращается в бесконечность), получим окончательно:
Vtz ^Ch W3(X-Xf). (31.9)
Аналогично, решая уравнение для Vyy, получим (после вычитания):
®+ =^L ch W3 (х — х'), (31.10)
п о
t съ«4 (?1W3 + g3w,) (S2W3 + S3W2) (31.11) (E1W3 — ?3Wj) (E2W3 — ?з®г) 352 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В ПОГЛОЩ.МОІЦЕЙ СРЕДЕ [ГЛ. Vl
и, используя соотношения (31.7),
--
sh w3 (x — х'),
мл? 3Д
4к,q2
unb3w3A
ch w3 (х — х').
(31.12)
Вычисляя теперь величины х'\ q; wn) и Ъ%(х, х'\
q; wn) и подставляя их в формулу (31.3), получим:
¦
¦-.31
F(I)-.
OO ""
л=0 О
Переходя к новой переменной интегрирования
2 q = ]/ е3 (і)л Yp2—1 и возвращаясь к обыч-ной системе единиц, мы придем к окончатель--?".: і, г M ному выражению (Дзялошинский, Лифшиц, Рис 84 Питаевский [48]): для силы F, действующей на единицу площади каждого из двух тел, разделенных щелью ширины I, заполненной средой (рис. 84):
