Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
-оо -со Ix2 j
- тн - (8.7.6)
Из симметрии условий примера относительно величин Xi и X2 следует, что
816 ГЛ. 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
Пример 3. Анализируется поиск информации на магнитной ленте. Начало записи располагается с равной вероятностью в любой точке X1 на магнитной ленте длиной I м (рис. 8.7.3). Головка лентопротяжной^ механизма в момент начала поиска с равной вероятностью находится в любой точке X2 магнитной ленты. Скорость
перемотки ленты постоянная X2 Xf и равна v.
-J--' * '-?~ х Определить м. о. и дис-
персию времени T перевода Рис. 8.7.3 головки из точки X2 в точ-
ку X1.
Решение. Очевидно, что в данном случае
mXl = тХ2 = 1/2; . D4 = D4 = 12/І2.
Рассмотрим св. Y = IX1 — X2I — расстояние между X1 и X2. По формуле (8.7.8) находим
I 1,1 X
По формуле (8.7.9) находим
«2 [У] - Ac1 + D4 = l2/?x
откуда
А/ - сс2 [У] -m* = Г/18; о, - = Z/(3 V2 ). Время Г = У/у, следовательно,
M [Г] - M [Y]Iv = 1/(Sv);
D[T] = D[Y]/v2 = 12/{Ш);
a[T\ = VlHT] = l/(sV2v). *
Пример 4. Рассматривается система п независимых одинаково распределенных нормальных св. (X1, X2, ..., Xn) с характеристиками: тХ{ = 0; сгх. = а (і »
= 1,2, ...,Tl).
Требуется найти характеристики: м.о. и дисперсии—' следующих функций этих св.:
a) Yn=^Xh (8.7.10)
і=1
8.7, ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МОДУЛИ 317
п
б) Zn--L^Xl-Y1Jn; (8.7,11)
1 = 1
w ( п \1/2
в) Я»-(SXi1) =(Гп)1/а; (8.7.12)
(п \ 1/2 =(z»)1/2' (8.7.13)
Решение, а) Обозначим Xl = Yu найдем характеристики Y1:
^ = M[F1J-MM = O-2;
D [F1] - M [(F1 - т„,)2] = M [Yf] - 2mViM [F1] +
В соответствии с формулой (6.3.12у M [Ff]-M[X14] - За*,
откуда
D [Yi] = D [X?] = За4 - о4 - 2а4. Следовательно,
MIyJ-SM[XiI-IK^1 (8.7.14)
D -2SD [X?] = 2шт4. (8.7.15)
i=l
Если 0 = 1, то распределение случайной величины Yn называются х2 («хи квадрат»)—распределением, тогда
M[X2]-«; D[x2] = 2rc. (8.7.16)
б) св. Zn связана линейной зависимостью со св. Yn: Zn=YJn1 следовательно,
M [Zn] - M [Yn]In = а2; (8.7.17)
D [Zn] = D [YnVn2 = 2о*/п. (8.7.18)
в) Закон распределения и числовые характеристики св. Rn были определены в п. 7.10 ((7.10.36)-(7.10.38)).
318 ГЛ. 8 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
г)" с.п._уп связана со св. Rn линейной зависимостью Vn=RnZlZn; следовательно,
M[Vn]-M[Rn]IVn; (8.7.19)
D[Vn] = D[Rn]In. > (8.7.20)
Случайные величины Fn, Zn, Rn и Fn, рассмотренные в этом пункте, находят широкое применение в математической статистике.
8.8. Комплексные случайные величины
При изучении различных случайных явлений в ряде случаев бывает удобно пользоваться комплексными случайными величинами. Комплексной случай-ной величиной называется св. вида:
X-X1-HXx, (8.8.1)
где X1, X2 — действительные случайные величины, і = у_і — мнимая единица. Случайная величина X1 называется действительной частью, а случайная величина
X2 — мнимой частью комплекс-2 ной с в. X.
Комплексная случайная ве-
-----~J7\ личина
# I X-X1-JX2 (8.8.2)
і называется сопряженной с комп-
--1- лексной с. в. X.
^7 xi Комплексную с в. X можно Рис. 8.8.1 изобразить случайной точкой с
координатами (X1, X2) или случайным вектором R на комплексной плоскости X1Ox2 (рис. 8.8.1).
Случайная величина R — длина случайного радиуса* -*
вектора А, называется модулем (или абсолютной величиной) комплексной св. X:
R = J XI = УXl + X* = ]/х7?. (8.8.3)
Случайная величина R является действительной.
Случайный угол 0, который случайный радиус-вектор
R образует с положительпым направлением оси Os1, называется аргументом комплексной случайной величины
8.8. КОМПЛЕКСНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 319
X. Действительная св. 8 определяется из выражения:
0 = arctg (8.8,4)
і
Математическим ожиданием комплексной случайной величины X = Z1 + iXz называется комплексное число
TYix = TYtx^ + imx%. (8.8.5)
Центрированной комплексной случайной величиной называется случайная величина
о оо
X = X — mx = X1 — mXi + і (X2 — W3C2) = X1 + iX2, (8.8.6)
о о
где X1, X2-действительные центрированные случайные величины.
Дисперсией комплексной св. X = X1 + JX2 называется м.о. квадрата модуля соответствующей центрированной св.:
Dx = D [XJ - M [ IX р] = M [XX], (8,8.7)
U о о где X= X1—- іХ2.
Найдем произведение
о "Ь" о оо о on о ft XX - (X1 + iX2) (X1 _ /X2) . Х\ + X22. (8.8.8)
Пользуясь теоремой сложения математических ожи-дапий, которая доказана в п. 8.2, а именно: м.о. суммы св. равно сумме их математических ожиданий, получим:
Dx - M [XX] = M [Х\ + Х22] = M [X*] + M [Xl] =
= DXi + Ac2, (8.8.9)
т. е. дисперсия комплексной св. есть действительное неотрицательное число, равное сумме дисперсий действительной и мнимой части.
В соответствии с формулами (8.8.3) и (8.8.4) случайную величину X можно выразить через полярные координаты Я, 9 случайной точки X на плоскости Z1Oz2
