Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
оо а
my = M [Y] — j* min {хг a}f(x) dx — J xf (х) dx +
— 00 —00
оо a
+ a j f (x) dx - j xf (x) dx + a [1 — F (a)], (8.4.3)
a — oo
где F(x)— функция распределения св. X,
292 ГЛ. 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
TYIy =
— 00 х
+ af * ехр {-Ї^Щах-а - ох[х (Ф (т) + 0,5} + ехр {-
, (8.4.8)
По формуле (8.1.12) находим второй начальный момент св. У:
OO
«а [Y] =» M [Y2] = j (min {х2 a)ff{x) dx -
— 00
й оо а
- J a?f{x)dx + a4 j/(ж) (fx= J ж2/ (*) Же + a2 (1 - F (a)),
—oo a —oo
(8.4.4)
Откуда
D [Y] = a2 [У] - т\. (8.4.5)
Если св. X дискретна и имеет ряд распределения = Р{Х = хі} (t-1, 2, .... п), то
n (a) п
т,у — S тіи я} = 2 *іРі + ^ S Pit (8.4.6)
i=l 1=1 i=(a)+l
где (а) —номер максимального из возможных значений с. в. X которое не больше а: х(а) < а. Аналогично найдем
(а) п
О.ІП-2 *?Pi + <*2 2 Pi. > (8.4,7)
i=l i«(a)+l
Пример 1. Напряжение X, подаваемое на вход ограничителя, распределено по нормальному закону с параметрами тх и ох. Ограничитель работает по принципу
F*=min{X, ah
Найти характеристики ту и Dy напряжения Y на выходе ограничителя.
Решение. По формуле (8.4.3J
8.4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗНЫХ ФУНКЦИЙ 293
где і = (а — тх)/ох; Ф (х) — функция Лапласа. Дисперсию находим через второй начальный момент:
а2 [Y] - f —?=г exp f- *r +
OO
+ ««J-I-«р (- (-^=^} dx = (m|+ а|)[Ф(т) + 0,5] +
+ а2 [0,5-Ф(t)]--«AL ' е г, (8.4.9)
г і!
/)а = а2[Г]-т^ = о^(1 + т2)[Ф(т)+0,5] + :^?*"2 ~
^T(O(T) + 0e5) + tj^e"^]J. (8.4.10)
Если тх = а, то т = 0; ту = тх — ах/ Vln\ Dv = а* (я — ~1)/(2я). >
Пример 2. В ВЦ за смену поступает случайное число X информационных документов (ИД), подчиненное закону Пуассона с параметром M [X] = тх. Число ИД У, обрабатываемых в ВЦ в смепу, не может превышать величины а (целое число): У=»min{X1 ah Найти характеристики случайной величины У.
Решение. По формуле (8.4.6)
а k 00 ь
X ь т* »-т* л. „ X т* „-«•*
mv = Z кі^ге * + а Z же
A=O J ft=o+i
/1=1 \ fc=0 J
— тхЯ (а — I1 Wx) + а (1 — Я (<*• гоя)), (8.4.11)
п k
где Я (л, а) — 2 ТГ е~а#
Заметим, что мы доказали равенство
а
2 w*' Jf е~т* А ™>xR (а — I1 Wx) (а> 0 и целое).
(8.4.12)
294 ГЛ. 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
пх —т~
Є х —
2 ^е—-«,2 (*-! + %_,„
a=o /1=1
° Ь—1 а fe —1
h=l ' fc=i 4
= m%R (а — 22 тх) + ^nxR (а — 1, тх)2 (8,4.13)
где а > 1.
Следовательно,
— т?Я (а — 22 тя) + mxA (а — 1, тх) + а2 (1 — R (а, т*)).
(8,4.14)
Откуда
D [Y] — а2 [У] — = т?й (а — 2, тх) + т*Я (а — 1, тж) +
+ а2 (1 - Л (а, т,)) - т| [Л (а-11 »^)]»-а*[1-Д(? т*)]2-— 2тхаД (а — 1, ш-*) [1 — R (ах тх)] (а > 1). > (8,4.15)
Задача 2. Числовые характеристики максимальной из двух величин: случайной X и неслучайной а. Имеется не-2-гпах{гг,с^ прерывная с. в. X с плотностью /(я). Св. Z связана с X зависимостью
О
а х Рис. 8.4.2
г* f V ч і а при X ^ af
Z = max {X, a} = v r v^ * 1 ' IX при Х>а.
(8.4.16)
График функции Z = max{X, а} показан на рис. 8.4.2, где а имеет тот же смысл, что и в задаче 1 этого пункта.
Найти числовые характеристики: м. о. и дисперсию св. Z.
Если а = О, то 2 к —р e~m* = 0. Для нахождения вели-
чины а2 [Y] найдем (с учетом равенства (8.4.12)) следующее выражение:
8.4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗПЫХ ФУНКЦИЙ 295
т2 = a J f(x) dx + J xf (х) dx + ej f{x) dx — a J f(x) dx +
—oo a a a
a a
+ j" .r/(z)dx— § xf(x)dx = a + mx — my. (8.4.22)
— 00 —00
Аналогично найдем величину a2[Z] через уже найденную величину a2[Y] (см. (8.4.4)):
а оо
O8 [Z] = a? J / (а:) + j" х2/(х) Лс =
°-a2 + mS + oJ-et[yi. (8Л23)
Решение. По аналогии с решением задачи 1 этого пункта имеем:
т2 = M [Z] =
а оо оо
= а J f{x) dx + ^xf (х) dx = aF (a) + \ xf (х) dxx (8.4.17)
—оо а а
оо
а2 [Z] = a2F (a) + j x*f(x) dx. (8.4.18)
а
Если с. в. X дискретна, то
(а) п
mz = U[Z] = а2 Pi+ 2 ^Pi1 (8.4.19)
і=1 і=(а)Н-і
а2 [Z] = а2 2 Pi + 2S (8.4.20)
і=1 і=(а)+1
Дисперсию найдем по формуле
D[ZJ-Ct2[Z]-/»!. > (8.4.21)
Пример 3. При сборке электронной схемы применяется резистор, имеющий случайное сопротивление, распределенное по нормальному закону с параметрами тх и Gx] при этом отбирается только такой резистор, у которого сопротивление не менее заданного а. Таким образом, сопротивление отобранного резистора Z = max {X, а).
Найти числовые характеристики случайной величины Z — резистора, отобранного для установки в схеме.
Решение. Выразим величину тя через уже найденную величину nty (см. (8.4.3)):
296
ГЛ. 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
Учитывая, что с. в. X распределена нормально с параметрами Mx и Ox, имеем:
TtI1=Mx + ох[т(Ф (т)+ 0,5) +ехр {-^}//? (8.4.24) a, [Z] = а2 [Ф (т) + 0,5] + (т2х + ol) (0,5 - Ф (т)) +
+ (2охмх + а*т)ехр[?}|/2я, (8.4.25)
