Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
о [R] = /DlRJ = I (ом);
Мы видим, что характеристики схемы практически остались теми же, что и для схемы с разными сопротивлениями. >
то коэффициент вариации сопротивления всей схемы будет
ГЛАВА 9
ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
9.1. Закон распределения функции одного случайного аргумента
В предыдущей гл. мы познакомились с методами оп« ределения числовых характеристик функций с. в. и показали, что для их отыскания не требуется знать законы распределения этих функций, а достаточно знать законы распределения аргументов. Как было показано, во многих случаях инженерной практики при нахождении числовых характеристик функций с. в. можно обойтись даже без законов распределения аргументов — достаточно знать лишь числовые характеристики этих аргументов.
Однако нередко в инженерных приложениях возникает и задача определения законов распределения функции с. в. Обычно это требуется при определении вероятности попадания этих функций в различные области их возможных значений.
В этом пункте мы будем решать следующую задачу. Имеется непрерывная с. в. X с плотностью f(x); св. У выражается через с. в. X функциональной зависимостью
F = (P(X). (9.1.1)
Требуется найти закон распределения с. в. У.
Рассмотрим сперва случай, когда функция ц>(Х) строго монотонна, непрерывна и дифференцируема в интервале (а, Ь) всех возможных значений с. в. X. Функция распределения G(у) св. У определяется по формуле
G(y) = P{Y<y}. (9Д.2)
Если функция <р'(х) монотонно возрастает на всем участке возможных значений св. X (рис. 9.1.1), то событие (У < у) эквивалентно событию {X < ty(y)}, где (У) = х есть функция, обратная функции <р(#)=?/. Из строгой монотонности (р(х) следует однозначность
9.1. ФУНКЦИЯ ОДНОГО СЛУЧАЙНОГО АРГУМЕНТА 337
Дифференцируя это выражение по величине у, входящей в верхний предел интеграла, получим п. р. случайной величины У:
ein) = -?^ - mm^ST(9-1-4)
Если функция ф(х) на участке (а, Ь) возможных значений св. X монотонно убывает (рис 9.1.2), то событие
У
У
У<у
Х<ф(у) Рис. 9.1.1
х=ф(у) Ъ
Рис. 9.1.2
{Y<y} эквивалентно событию {Х>$(у)}. Следовательно,
б (if)- J f(x)dx.
(9,1.5)
Mv)
Дифференцируя G(у) по переменной у, входящей в нижний предел, получим п. р. случайной величины У:
- = - ММ**'(у) *>• <9л-6)
Так как плотность не может быть отрицательной, то формулы (9.1.4) и (9.1.6) можно объединить в одну:
g(v)-№(v)W(v)\- (9.1.7);
Если с. в. X дискретпа и имеет ряд распределения
X
[PiI
(9.1.8)
*) В формулах (9.1.3) и (9.1.5) диапазон возможных значений с. в. X может быть (—оо, оо), т. е. а = — оо; Ь = оо.
функции ty{y). Имеем
Mv)
G(y) = P{Y<y}=P{X<q(y)}= J f(z)dx. (9.1.3)
338
ГЛ, 9, ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
то возможные значения У = ф(Х) определяются из выражения Уі = у{Хі) (J = I, 2, /г); при этом имеет место равенство
R {Y = уг) = P {Y = ф (? = р,. (9.1.9)
Задача 1. Закон распределения линейной функции одного случайного аргумен-т а. Частным случаем мопотонной функции является линейная функция у = ах+ Ь, где a, b — неслучайные величины. Пусть У есть линейная функция непрерывной св. X с плотностью f(x):
Y = aX+b.
Найдем, пользуясь формулой (9.1.7), плотность распределения g(у) случайной величины У. В данном случае обратная функция ty{y) = (y — Ъ)/а\ ее производная ?'(#)=3 = 1/а; модуль производной 1/|а|. Формула (9.1.7) дает
> (9.1.10)
Пример 1. Случайная величина X распределена по показательному закону
f(x) = 3e~3x (х>0).
Случайная величипа У линейно выражается через X:
У = 2-ЗХ. (*)
Найти плотность распределения с в. У.
Решение. В данном случае обратная функция
?(1/) = (2 —1/)/3. Условие а:>0 в формуле (*) для у переходит в условие i/ = 2 — Зх< 2; по формуле (9.1.10) получим
(У<2) (У>2)
о
при y<2t при j/>2.
График плотности g(y) показан на рис. 9.1.3. > Рис. 9.1.3 Пример 2. Найти
п. р. линейной функции Y = аХ+ Ъ нормально распределенного аргумента X с характеристиками тх и Ox.
Решение. По формуле (9.1.7) имеем
g (у) = [1/ (V ^ToJ а і) ] ехр {- [у - {атх + Ъ) ] V(V 2оха)г)г
9.1. ФУПКЦИЯ ОДНОГО СЛУЧАЙНОГО АРГУМЕНТА 339
а это есть нормальный закон с характеристиками mv=* = amx+b; Dy = a2ol; оу=\а\ох. Таким образом, в результате линейного преобразования нормально распределенной св. X получаем св. У, также распределенную по нормальному закону. >
Пример 3. Непрерывная с. в. X распределена по закону Коши в простейшем (каноническом) виде: У
/(*)- 1
св. У мостью:
связана с нею зависн-
ув-X*.
X
Рис. 9.1.4
Найти плотность распределения с. в. У.
Решение. Так как функция у — 1 — X2 монотонна (монотонно убывает) на всем участке (—°°, °°)\ применим формулу (9.1.7). Решение оформим в виде двух столбцов; в левом будут помещены обозначения функций, принятые в общем решении задачи; в первом — конкретные функции, соответствующие данному примеру,
т
У = (f{x)
х = у(у)
