Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
X « Д cos Є+ /Я sin O, (8.8.10)
320 ГЛ. 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
Пользуясь формулами Эйлера, выражение (8.8.10) можно записать в виде
X = Reie. (8.8.11) Рассмотрим две комплексных св.:
X = X1 + iXt, Y=Y1 + IY1. (8.8.12)
Ковариацией Кху двух комплексных св. X и Y называется м. о. произведения центрированной комплексной о
с в. X на центрированную комплексно-сопряженную о
св. Y:
Кху = M [XYl = M [(X1 + IX9) (Y1 - iY2)] -
00 oo 00 00
- M [X1Y1 + X2Y2 + і (X2Y1 - X1Y2)}.
Пользуясь теоремой сложения математических ожиданий и вынося песлучайный множитель і за знак математического ожидания (см. п. 8.2) получим:
Кху = Kx^1 + Кх2у2 + і (Kx^1 — Kx^y2), (8.8.13)
где КХ{У.— ковариация действительных с в. Х{ и Yj (і =
-1. 2; 7 = 1, 2).
Ковариация двух комплексных св. X и Y является в общем случае комплексным числом. Особо отметим, что определенная таким образом ковариация Кху двух комплексных с. в. X и Y не равна ковариации Кух двух комплексных св. У и X. Проводя аналогичные преобразования для Kyx получим:
Kyx = Kx1v1 + К**?* ~~ * (Kx2V1 ~~ Кх*у2) = Кхуі (8.8.14)
т. е. ковариация двух комплексных св. YuX равна комплексно сопряженной ковариации двух комплексных св. XuY.
Комплексные св. X и Y называются независимыми, если независимы их действительные и мнимые части, т. е.
/*.»(*!. *2, Vi1 Ух)=8/*(*!, Xt)-U(Vu уг). (8.8.15); В этом случае
Kx1v1 = Кхгуг = Кх2ух = ^x1V2 = 0 (8.8.16)
8.9. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
321
и выполняется условие: M[X.У] = M [Х].М[Г] =
- (M [X1] + iM [X2]) (M [Y1] + IM [F2]), (8.8.17)
т. е, м. о. произведепия комплексных независимых с. в. равно произведению м. о. этих с. в.
8.9. Характеристическая функция случайной величины и ее свойства
Для доказательства центральной предельной теоремы, которое будет изложено в п. 10,2, А. М. Ляпунов ввел метод характеристических функций, который нашел широкое применение при решении различных вероятностпых задач.
Рассмотрим комплексную св.
У = е«* = ехрШХ}, (8.9.1);
где X — действительная с. в., закоп распределения которой известен, t — параметр, ? = V—1 — мнимая единица.
Характеристической функцией с. в. X называется м. о. комплексной с. е. У:
®х (t) = M [У] = M [eitx]. (8,9.2)
Характеристическая функция безразмерна, а параметр t имеет размерпость, обратную размерности св. X.
Пользуясь формулами (8.8.10) и (8.8.11), можно показать, что комплексная св. Y (8.9.1) представляет собой едипичпый радиус-вектор со случайным углом tX на комплексной плоскости. Следовательно, M [Y] также представляет собой единичный вектор, но с неслучайным углом на комплексной плоскости, откуда
Для дискретной св. X, принимающей значепия хи х2, ..., Xn с вероятностями ри рг, ..рп, характеристическая функция определяется как сумма:
для непрерывпой св. X с плотпостыо /(я)і-=как интеграл:
«О
Ox(o- j" e,txf(x)dx. (8.9.4)
— 00
Il Теория вероятностей и ее инженерные приложения
322 ГЛ. 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЯ
Характеристическая фупкция неслучайной величины а равна
\%(t)^eu\ (8.9.6)
Выведем основные свойства характеристической функции.
1. Характеристическая функция св. Z = aX+b выражается через характеристическую функцию 0*(0 с-в-X формулой
O2 (O = M [ei<(e*+b)] = eitb$x (at). (8.9.7)
2. Если у с. в. X существует начальный момент А>го порядка ак[Х], то существует к~я производная характеристической функции и выражается формулой
0?>(t) = —hM [е»х] = ikM [Xheitxl
dt
При t-* О получим: Откуда
ак[Х]=Ъхк)(0)Г\ (8.9.8)
3. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин X1, ..., Xn равна произведению характеристических функций слагаемых.
Действительно, пусть
и заданы характеристические фупкции oft(0 с. в. Xh (к — — I, п). Требуется найти характеристическую фуик-
Таким образом, характеристическая функция 1Ox[I) непрерывной с. в. представляет собой преобразоваьис- Фурье плотности распределения и однозначно определяйся этой плотностью. Отсюда следует, что плотность распределения j(x) также однозначно выражается через характеристическую функцию Ox(O обратным преобразованием Фурье: -
OO
А*)~"!г \^)e~itxdt. (3.9.5)
8 9. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 323
<ыо-м
exp {it ? XЛ1 = M [ П exp {itXk}]
У h=l Jj L ^=I J
- П M [exp {itXk}] = П **л (t). (8.9,9)
п
4. Из свойств 1 и 3 следует, что если Z = 2 а/А + Ь и с. в. X1, XZl ..., ХА, ..., Xn независимы, то
(*) = exp {Hb} Д 0*к (Afct). (8.9.10)
Пример 1. Найти характеристические функции следующих случайных величин:
1) св. X1, принимающей значение 0 и 1 с вероятностями q п р (р + q = I) — индикатора события A1 происходящего с вероятностью р;
2) св. X2, распределенной по биномиальному закону с параметрами пир;
3) св. X3, распределенной по закону Пуассона с параметром а;
4) св. X4, имеющей геометрическое распределение с параметром р\
5) св. X5, распределенной с постоянной плотностью на участке (а, Ъ)\
