Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
6) св. X6, распределенной по нормальному закону с параметрами тх и ох;
7) св. X7, распределенной по закону Коши, симметричному относительно точки а с плотностью f(x) =
--1 », 2 (сс>0);
1 + (* - а)2/сс2 v '
8) с. в. X8, имеющей распределение Лапласа, симметричное относительно точки а с плотностью / (х) —
-^e ь (Ъ>0);
9) св. X9, имеющей гамма-распределение с параметрами п и X (см. (6.4.1));
10) св. X10, подчиненной показательному закону с параметром X с плотностью f(x) = Xe~%x (X > 0; х>0).
цию $z(t) св. Z. По теореме умножения м.о. (8.2.23) получим:
324 ГЛ. 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
Решение. 1. Так как св. X1 принимает значения О и 1 с вероятностями q и />, то
O1 (O - еи °q + еи *р = q + реи. (8.9.11);
2. Вероятность Рт того, что св. X2 = т (Jn = O1 1, ... ..., и) определяется по формуле Рт = Cn pmqn~m, следовательно,
O2(O- S eitmC™pmq"-m =»
771 = 0
-SC? {ре»)тЯп-т = (<Z + Реи)п- (8.9.12)
771=-0
3. Вероятность того, что св. X3 = к (к = О, 1, 2, ...) определяется по формуле Pk = аке~а/к\, следовательно,
*8(«)- 2 л**-в/а!-
. е-а.еае« J ^ = «-«(!-.«O1 (8.9.13)
оо
так как S (аеі1)к/кї = eaeit при |яб»*'|<оо.
4. Вероятность того, что св. Хк = к (fc —0, 1, 2...), определяется по формуле рк — qhp, следовательно,
oo oo
<М0 = S emqhp = [p/(i - ««")] S (?«")* (1 - ?е") =
= Р/(1~Л (8.9.14)
oo
так как S {qeu)k (1 — gew) — 1.
5. Плотность св. X5, распределенной равномерно на интервале (а, о), определяется по формуле j(x) = — 1/(6 —а) (л: є (а, Ь)), следовательно:
/>
(t) = J tfltxdz/(b - a) = (eiib - - ita) =
а
^=2-e^b+a^-sm(^.t)/ l(b a)t\. (8.9.15)
8.9. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 325
о У2л ( 2а1
ехр і — , следовательно
г iix <х~т)
J 0V2K I dx = dy -
—oo
yt oo (У-"*2]2 t2o2
= —7=r e *° dy = e 1 e dy=*
f!/2k J o"|/;
Є J a "|/2n ^-I dy = dz
«»-X- Ге * ' , U-»o2 = z|
t2 2 oo--- ,2 2
2 -^=-<fc=V ^ A (8.9.16)
J о у Iii
— OO
так как последнее подынтегральное выражение представляет собой нормальную плотность с параметрами т = = 0; о и интеграл от нее в бесконечных пределах равен единице.
7. Плотность св. X7, распределенной по закону Копій, симметричному относительно точки а, можно записать в виде
/(*>-1^ + (,-«)>/«* (-<»<*«». «>Р>. (8-9-17) Следовательно,
ft (t) = — г ****** I О*-fl)/a =
7 w да J і _|_ (д. _ а)2/а2 J = a<ty
— 00
00
Ma Г May
= v J ^-р dir — е«—«W *). (8,9.18)
OO
*) В [6] показало, что — \-- dy =
л Jl + //2
—со 1
6. Плотность св. X6, распределенной нормальпо с параметрами т и о, определяется по формуле / (х) =
1 ^ ( (x—rnf
326 ГЛ. 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
: — a)/b = у I bdy I
— 00
оо г- О 00 "1
_ _1_ J e«b?+«o-,y,rfif _ ill j + Je-K-«»+«^ I
— оо I--оо О -*
В первом интеграле проведем замепу перемеппых у{Ub + l)ew, во втором у(1 — Ub) = V, В этом случае
[ e"du/(l + ИЬ) + Je"*«fo/(i - «6)1 -
оо О
- *4te/[l + (Л)*]. (8.9.20)
9. Плотпость св. X9, имеющей гамма-распределение с параметрами пиі, определяется но формуле
1(х) = Х{Хх)п-*е-*Т(п) {х>0; К>0\ п>1), (8.9.21);
где
OO
Г (л) - J zn-le~xdz {п > 1) (8,9.22)
о
— известная гамма-функция. При п целом r(wje(n— 1)! (п> 1). Следовательно,
(O = J е« W" (n) = I {J I -
OO
О
так как интеграл равен Т(п) (см. (8.9.22)).
10. Так как гамма-распределение при п = 1 превращается в показательное распределение с параметром X (см. п. 6.4), то для с в. X10 получим характеристическую
8. Плотность св. X8, распределенной по закону Лапласа, симметричному относительно точки а, имеет вид:
|х-а|
Ox)-^e ь (-оо<д:<оо1 Ь>0). (8,9.19) Следовательно,
8.9. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 327
^-[»(»-i) Cg + Pe«)"-(/«")• +
I
+ n{q + ре1*)*'1 pelt] Uo = п(п - 1)р2 + /гр = M [Xj]. D [X2] = M [Xl] - (M [X2])2 - п2р2 - wp2 + np-n2p2 = npq„ 3 (°) ^_ 1 * (?«"6 - to«g) - (*"ь - еш)
= (раскроем неопределенность 0/0 (при ?->0)
1
по правилу Лопиталя) = -X
і (b — а)
ibeitb іаеШ + t [(ib)2 eitb _ (/e)2 eita] faith iaeitay
X
2*
62 — a2 b + a M'r V і
Апалогичпо находим
^т^^уЩ^-Mm-,
D [X5] = M [Xl] - (M [X5])' = (b - af/12.
4. K (0)/i = Г1 [ехр {Um - t2a2/2) {im - to2) |._ =
= W = M [Xe];
функцию в виде:
^1O (O = > (8.9.24)
Пример 2. Для случайных величии, фигурирующих в пупктах 1, 2, 5, б примера 1, найти числовые характеристики с помощью аппарата характеристических фупкций.
Решение.
1. <><» (р)/«* - ^ (? + ре")/ік 1.-0 =- ре"It=o = P - M ВД. Следовательно, M[X1] = M [X*] = Р> D {^1] = р — р2 = pq-
= «(<? + ре1')""1 Uo = «Р = M [X2];
