Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
00
M [y) - M [max {X1, X2}] - 2 J ***(*) /(х) dx; - (8.6.9)
312 ГЛ. 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
X1 %2 (^i ~ь X2Y
D[max{7ur2}]=-i- + -L-
Ч Ч (4 +ЧУ
8.7. Числовые характеристики модулей функций случайных величин
Задача 1. Случайная величина
У-|Х-а|, (8.7.1):
где X — непрерывная св. с плотностью /(я)', а —неслучайная величина. Требуется найти числовые характеристики rrty и Dy с. в. У. Решение. Функция
[а — X при X < а; 1 1 (Д — а при л > N
нуют из двух независимо работающих ЭВМ, время безотказной работы которых равно T1 и T2. Случайные величины Ti и T2 распределены по законам Эрланга кх и кг порядков с параметрами Xx и X2 соответственно. ВС считается работоспособной, если работает хотя бы одна из ЭВМ. Следовательно, T = max {Ти T2). Найти числовые характеристики с. в. Г.
Решение. По формулам (8.6.7), (8.6.8)' имеем
M [max {T11 T2}] = + ^ - M [тіп{Г1г TJ]1 (8.6.11) M [(max {T11 T2})*] =
_М^> + *^Ш (8.6.12)
где M [min {T11 T2}] и M [(тіп{7\, T2})2] определяются по формулам (8.6.5) и (8.6.6) соответственно. Если случайные величины T1 и T2 распределены по показательным законам с параметрами Xt и X2 (Zc1 = Zc2 = 1), то
M [max If11T2}]= X + JL- ф^,
8.7. числовые характеристики модуля 313
I
. X
I X
Рис. 8.7.1
Рис. 8.7.2
случайной точки X на газопроводе, где возникает неисправность. Кривая распределения f(x) приведена на рис. 8.7.2*). Найти характеристики св. У —расстояния до места расположения неисправности, которое необходимо проехать ремонтной бригаде.
Решение. Случайная величина Y определяется по формуле (8.7.1), а характеристики — по формулам (8.7.3) и (8.7.4).
Если неисправность на газопроводе возникает с постоянной плотностью вероятности в любой его точке, то
/(*) = !// при X є (О, I);
IO при х<1\ х/1 при X е (О, I); 1 при х>1.
*) Эта кривая распределения имеет нелинейный характер, так как некоторые участки газопровода чаще выходят из строя, чем другие.
следовательно,
со а
Шу = J* \х— a\f(x)dx — j (a — x)f(x)dx +
— 00 —00
OO OO
+ §(x — a)f(x)dx = a[2F(a)—l] + 2 J аг/ (х) dx — тх;
а а
(8.7.3)
OO OO
Ct2 [У] = j І х-а I2 f{x) dx= J (х-а)2/(х)гіх=з
— 00 —00
— а2 [X] — 2amx + а2, (8.7.4)
где а2 [X] — второй пачальпый момент с. в. X, тл — ее м. о. >
Пример 1. Ремонтная бригада располагается в точке а линейного участка газопровода, длина которого I (рис. 8.7.1). Известна плотность распределения f(x)
fix)
314 ГЛ. 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
В этом случае
і
\2а Л , 0 С X , Z а2-1а + 12/2
ту = ак--11 + 2 — dx —-
а
(0<а</).
Найдем величину ага1п, при которой ту достигает минимального значения:
дШу/да = (2а — 1)/1 = 0; amin = l/2\ mUmin = Z/4.
Заметим, что если ремонтную бригаду располагать на одном из концов линейного участка газопровода (а — 0 или U = I)1 то в этом случае TUy = Vl1 т. е. среднее расстояние увеличится в два раза. Найдем остальные характеристики:
а2 [Y] = а2 [X] — 2аигх + а2 = Z2/3 — al + а2;
- а2 [Y] -ml = Z2/3 -al + a?- (а2 - la + Z2/2)2/Z2, При а - 0 (или а - I)] Dya=sQ = Р/12; о,а==0 = г/ /Ї2. При а - //2; Z)1,^ - Z2/48; оУа=|/2 = ///48 = аУвявА/2.
Мы видим, что при расположении ремонтной бригады на одном из концов линейного участка газопровода среднее квадратическое отклонение расстояния от места расположения бригады до места расположения неисправности также увеличивается в два раза по сравнению с минимальным. >
Задача 2. Рассмотрим модуль разности св. Y= IX1-X2I, где X1 и X2 независимые непрерывные св., имеющие п. р. А (я.) и /2(#2).
Требуется найти числовые характеристики св. Y.
Решение. Рассмотрим гипотезу, состоящую в том,
что
X2^=(X2J х2Л"ах2^, Ее вероятность — элемент вероятности: f2(x)dx. Условпое м.о. случайпой величины Y при X2 = ^2 было найдено в предыдущей задаче 1 ((8.7.3)), где вместо величины а нужно подставить величину хг:
OO
M [Y I X3 = хг] = х% [2F1 (xs) - 1] + 2 j Xj1 (X1) dx, - тпч.
(8.7.5)
8.7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МОДУЛЯ 315
OO / OO
J I J *iZi (?) dxt J Z2 (?) dx2 - J X1F, (X1) Z1(X1) dxv
— 00 \—OO / —00
|Гогда
OO
М[У]-2 J 3T1F1 (аг,)/,(ж,)dx,+
м-ОО
OO
+ 2 j X1F2 (X1) Z1 (X1) dxx — mXl — m*2, (8,7,7)
—OO
Так как выражение случайной величины Y симметрично относительно X1 и X19 то формулу (8.7.7) можно переписать в другом виде:
OO
M [Y] = 2 J X1F2(X1)Z1(X1)^x1 +
— 00
7 (7 \
+ 2 J I J X2Za (?) а*з І /і (*i) d*i — тн — то*2. (8.7.8)
Второй начальный момент случайной величины Y можно найти непосредственно:
Y* - IX1 - X21» - (X1 - X2)* -Xj- 2X1X2 + XJ. Так как случайные величины независимы, то O2[Y] = M [У2] - M [X» - 2X1X2 + XJ] =
- Dx1 + DXt + (To3c1 - тХ2у. (8.7.9)
Dv - (X2 [Y] — то2,. >
По формуле полного математического ожидания (8.1.20) получим
OO
M [Y] — J M [Y IX2 = *а] -
— 00
OO OO OO Л
= 2 J Or2F1 (л:2) /2 (?) ^r2 + 2 J j Or1Z1 (^1) CUoT1 J2 (х2) dx2 —
