Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
328
ГЛ. 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
К (0)/i2 = Г2 [ехр {Um - <*о*/2} (im - la2)2 +
+ (- о2) ехр {»m - *2а2/2}] |,_0 = те* + а2 = M [Х2]; D [X6] = M [Xi] -(M [X6])2 = а2. >
8.10. Метод линеаризации функций случайных величин
Выше в этой главе было показапо, как, зная закон распределения случайных аргументов, можно находить числовые характеристики функций этих аргументов. Во многих случаях можно обходиться даже без закопов распределения случайных аргументов, а пользоваться только аппаратом числовых характеристик и находить числовые характеристики функций (м. о., дисперсию, другие моменты) как функции числовых характеристик аргументов. Особенно простые соотношения существуют между числовыми характеристиками функций и числовыми характеристиками аргументов в случае, когда эти функции являются линейными.
В инженерной практике очепь часто встречаются такие функциональные зависимости, которые, будучи нелинейными, могут быть приближеппо заменены линейными в диапазоне возможных значепий случайпых аргументов. Например, сопротивление схемы, изображенной на рис. 8.10.1, определяется по формуле
R = R1RzRJ (RA + RiR9 + R2Rs)
(8.10.1)
R2
и представляет собой нелинейную функцию: R = Cp(Ri1 R21 /?3). R3 . Однако такую нелинейную функ-
Рис. 8.10.1 Диго можно приближеппо заменить ли-
нейной (линеаризовать), если диапазон возможных значений аргументов мал. В копкретпом приборе сопротивление можно представить в следующем виде:
At1+ АЛ,,
где r< (J=5I, 2, 3) —м. о. случайпой величины R{ (поминальное значение сопротивления Ri); Д/?г — ошибка изготовления сопротивления Ri.
8.10. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 329
Эти ошибки, в зависимости от точности изготовления, колеблются в диапазоне нескольких процентов от поминальных значений, и величину R в формуле (8.10Л) можно приближеппо заменить липейпой функцией св. Ri = r{ + ARi (J = I, 2, 3).
Линеаризацией функции называется приближенная замена нелинейной функции линейной. Заменив нелинейную функцию случайных аргументов линейной, мы получаем возможность паходить числовые характеристики функций по числовым характеристикам аргументов.
Метод линеаризации функций случайных аргументов находит широкое применение в различных инженерных задачах при определении числовых характеристик различных параметров работы приборов и механизмов, находящихся под воздействием случайных возмущений.
Рассмотрим сначала задачу линеаризации функции одного случайного аргумента:
где X и Y — непрерывные св.
Из курса высшей математики известно, что любая непрерывная дифференцируемая функция у = у(х) может быть разложена в ряд Тейлора в окрестности точки а:
/ ч / \ , дер (х) ( ч , <92ф (х)
ф(*) = Ф (*) + -jj- Jx-a)+ -t^2-
дх1
(X-а)'
(8.10.2)
где
дц> (х)
, / ч д"(р (х)
== ф (а); —пг-
дх*
= ф», (8.10.3)
С математической точки зрения линеаризация функции одного случайного аргумента У = ф(Х) есть приближенное представление этой функции первыми двумя членами ряда Тейлора; при этом разложение проводится в окрестности точки Mx = M[X]. Это приближение будет тем точнее, чем меньше диапазон возможных значений случайного аргумента.
Применяя такую приближенную замену нелинейной функции у = <р(х) линейной, получим
ij = ф (х) = ф (шх) + ф' (шх) (х - Mx) .
Такое же приближенное линейное соотношение связывает
330
ГЛ. 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
и случайные величины У и X:
Y = ф (тпх) + ф' (тх) (X - JYix) или (8.10.4)
о
У = ф(тх)+ф'(тх)Х.
Выводя эту формулу, мы перешли от случайных величин X и У к неслучайным # и у, так как, строго говоря, по случайной величине дифференцировать нельзя. В дальнейшем мы иногда позволим себе не быть столь строгими, и переход от случайных величин к не случайным будем подразумевать при вычислении производных.
На рис. 8.10.2 дана геометрическая интерпретация линеаризации функции одного случайного аргумента. Линеаризованная функция у = ({)(тх) + (р'(тх)(х — тх) есть
к.
Рис. 8,10.2
не что иное, как уравнение касательной к кривой г/ = ф(.г), проходящей через точку К с абсциссой тх и ординатой ф(тж). Линеаризация состоит в том, что участок кривой у(х) для диапазона х<=(а, ?) приближенно заменяется отрезком касательной.
Если такая замена нелинейной функции ф(я) линейной ф(тх) + ф'(тж) (х — тх) удовлетворяет нас по точности, то мы можем произвести линеаризацию зависимости между случайными величинами Y и X1 т. е. заменить ее линейной:
о
Y = ф (тх) + ф' (тх) X и найти числовые характеристики — ту и Dy — случайной величины Y так, как это делают для линейных функций (см. формулы (8.2.9) и (8.2.13)):
mv = M [Y] - M [ф (X)] = ф (тпх)% (8.10.5) Dy = D [У] - [Ф' (/*,)]» Dxt (8.10,6)
8.І0. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ФУПКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 331
откуда
С=!ф'(т*)!ох. (8.10.7)
Будем называть функцию, мало отличающуюся от линейной в диапазоне практических возможных значений аргумента, почти линейной.
Из формул (8.10.5)-(8.10.7)' следует, что математическое ожидание почти линейной функции приближенно равно той же функции от математического ожидания аргумента, а ее дисперсия приближенно равна дисперсии аргумента, умпоженной на квадрат производной функции в точке, соответствующей м. о. аргумента.
