Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Остановимся, кстати, на одной подробности. Может показаться, что приближенная замена участка кривой ф(#) участком касательпой менее точна, чем замена ее участком секущей в том же диапазоне. Но мы выбираем замену участком касательной потому, что, во-первых, это проще, и, во-вторых, как правило, плотность f(x) непрерывной с. в. X больше в областях, близких к ее математическому ожиданию тх, чем по краям диапазона ее возможных значений; значит, наилучшее приближение нелинейной функции к линейной должно осуществляться там, где плотность аргумента максимальна, а это обычно бывает вблизи математического ожидания (как, например, для нормального закона).
Пример 1. Случайная величипа Y обратна св. X:
Y=i/X;
св. X распределена равномерно в интервале (1,2). Най-сти числовые характеристики с. в. Y методом линеаризации и сравнить их с точными значениями этих характеристик.
Решение. Находим:
m. - (2 + 1)/2 = 1,5; Dx = (2 - 1)712 = 1/12;
<р' (*) « - (ф' (тх)? « {Mmx)2 = 0,1975;
ту = у(тх) — 1/1,5 a 0,6667;
Dy - (<р' (тх)У Dx « 0,01646; ау « 0,1283.
ГПу =
332 ГЛ. 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
a2 ГП =
D [Y] = a2 [Y] -ml& 0,5 - 0,69312 ^ 0,01955; ov« 0,1398. >
Аналогично тому, как производилась линеаризация функции одпого случайного аргумента, выполняется линеаризация функции от нескольких с. в. X1, X2, ..., Х„, образующих систему. Пусть
У = ф(Хі, X2, хпу,
причем функция ф дифференцируема по каждому из своих аргументов и почти линейна в области их практически возможпых зпачепий. Известны числовые характеристики системы: математические ожидания Wi1, т21 тп и ковариационная матрица
К.
Il Кц\
К11 К12 *22
1In
кл
Разложим фупкцию ф(#,, X21 ..., Xn) в ряд Тейлора в окрестности точки (ти т2, тп) и ограничимся липей-пыми членами разложения. С геометрической точки зрения это равносильно замене уравнения поверхности ф(#ь X21 Xn) в /г-мерпом пространстве касательной плоскостью к этой поверхности:
Ф (хХг х2%...А хп) & ф{mif. •тп) +
п» г=1
Следовательно, с. в. Y может быть приближенно пред-
Точные значения характеристик пайдсм по формулам
оо 2
J ф (х) f (х) dx = J -і-. 1. dx = * In I .г J = In 2 = і
-0,0931;
2
J (Ф {*)? І (*) dx = J1 • 1 - dx = [ =
1
-1--L-0.5;
8.10. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 333
ставлена в виде линейной функции системы с. в. (Xi, ..., Xn):
Y = <p(XlfXn)«
п
« Ф .. .х тп) + 2 Ф*і (щ, ^ ^mn) (X1 — Wi) =
" , о
= Ф(mv .. -і ^n) + 2 Ф*і (™i» • • м тп) Xi. (8.10.8)
Применяя к этому выражению формулы (8.2.9) и (8.2.13) получим:
ro„»<p(/7iif тп); (8.10.9);
где для краткости введено обозначение:
(|^)m-Ні,....'»»), oi-tf«-*«- (8.10.11)
Формулу (8.10.10) можно записать через средние квадратические отклонения и коэффициенты корреляции:
к..
где Tij = —2- — коэффициент корреляции случайных ве-
личин Xt и Xj. Если случайные величины X1, Xn некоррелированы, то
°5*2(&) * <8-10лз>
I=^1 Vi/m
Пример 2. Определить числовые характеристики сопротивления схемы, изображенной на рис. 8.10.1, если номинальные значения сопротивлений M [R1] == T1 =» « 800 ом; M [Я2] - г2 — 900 ом; M [R3] = r3 — 1000 ом, ошибки в изготовлении сопротивлений распределены равномерно в интервале ±1% номинального зпачепия сопротивления и не зависят от ошибок изготовления других сопротивлений.
334 ГЛ, 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЯ
( )
(900•100O)2 81-10
10
(800 • 900 + 800 • 1000 + 900• 1000)2 2422 -108 ( (ЯіАз)2 ^ (800-1000)2 0,64
0,138;
1(ЛЛ + Л1Лз + Л2Аз)27". 5,86-1012 5,86
ft! 0,109;
( (W \ _
№
\2 /
' т
= (800-900)2 _ 0,722>10га
5,86•1O12 ~ 5,86-102
12 ~ g n„ лг& ~ 0,0885.
По условию сопротивления независимы (Кц = 0); по формуле (8.10.12) находим з
D [R] = 2 (Щ D ~ 0,1382-21,3 + 0,1092- 27 +
+ 0,08852-33,3 « 0,406 + 0,321 + 0,260 « 0,987 (ом)2;
a[R] = УЩЩ = 0,993 (ом).
Заметим, что если коэффициент вариации каждого
сопротивления в схеме, изображенной на рис. 8.10.1 равен:
VdJr-] УЩїїл УЩЮ п ЛЛс„„
Решение.
•Я = ф (Rh Я*, R,) - R1R2R,/ (R1R2 + R1R, + RzR,); D [A1] - (2 - 800- 1(Г2)712 «21,3 (ом)2; D [R2] = (2-900-10_2)2/12 ж 27,0 (ом)2; D [Л3] - (2 -1000 • 10_2)2/12 ж 33,3 (ом)2. По формуле (8.10.9) находим:
t«rDi / \ 800•900•100O OOQ, .
M [R) « ф (г1( Г2, г3) - goo-goo + 800-1000 + 900•1000^298W
Определим значения частных производных
8.10, ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИЯ 335
VP[A] „ 0,993 _ 0 0()ст "MW ~ "298" ~ u'UUcWO>
что свидетельствует о меньшем относительном разбросе сопротивления схемы по сравнению с отдельными сопротивлениями.
Если бы рассматриваемая схема состояла из. номинально одинаковых сопротивлений:
M [R1] = M [Я2] - M [R3] - 900 (ом), то мы получили бы
(і = 1, 2, 3); M [R]
(9002)2 1
D [R1] - 27 (ом)2 (i - I1 2, 3); M [R] - - 300 (ом),
Wm" W« [дЯ3)т (3.9002)2 9 J D[R] = 3(^D[A1] = 3-і-. 9-3 - 1(OM)2;
