Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
4-1
304 ГЛ. 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЯ
Задача 2. Случайная величина Z определяется через случайные величины Y и Xt .(і = 0, 1, 2, ...) следующим образом:
гаіп{У,а>
Z= 2 хн (8.5. IG)
где Y — целочислепная случайная величина, независимая от случайных величин Xi (1==1, 2, ...); св. X1 представляют собой систему независимых одинаково распределенных случайных величин, X0 = O; а>1, целое; задай закон распределения случайной величины У и числовые характеристики случайной величины Х<: тх и Dx (i>0). Требуется найти числовые характеристики случайной величины Z.
Решение. Обозначим
V«min{Г, а), ;(8,5Л7)
Тогда
V
z j= 2 ^i«
В соответствии с решением задачи 1 этого п. (см. (8.5.4?
и (8.5.10)): тг — mv*mx; D2 — /?ijDp + Tn0Dl. Величины
т, и D1, были определены в эадаче 1 п, 8.4 ((8,4,6) и (8.4.7)):
m, - M [min(У, а)] = 2 /ср. + а 2 Pn (8.5.18)
а2 II - M [(min {У, a)f] - 2 + 2 PA> (8.5.1?) D, = a2 [FJ - m2vt
где PA eP {У (fc « 0,11 #, .,?)— закон распределения случайной величины Y. >
Рассмотрим инженерное приложение этой задачи.
Пример 5. В ВЦ ежесуточно поступает случайное число Y информационных документов (ИД), распределенное по закону Пуассона с параметром а; обработке подлежит не более а ИД; каждый ИД имеет случайное число знаков Х< с характеристиками тх и Dx. Требуется определить числовые характеристики случайной величины Z — числа знаков, вводимых в ВЦ в течение суток.
8.5, ХАРАКТЕРИСТИКИ СУММЫ СЛУЧАЙНОГО ЧИСЛА 305
Решение. По условию pk = P {Y = к) = ahe-a/k\. Откуда (см. (8.4.12))
а оо
Tn0= 2 крк + а 2 РА = аД (а — 1; а) + а [1 — Д (a, a)]t
h—0 ft—a+l
(8.5.20)
где Д (a, a) = P {Y^ а) — распределение случайной величины Yj подчиненной закону Пуассона с параметром а. В соответствии с формулой (8,4,14) имеем
а2[К] = а2Д(а-2, а)+аД(а-1, a) + a2[l-R(a, а)],
(8.5.21)
откуда
Dv = Ct2 [V] — ті = а2Д (а — 2, а) + аД (а — I1 а) +
+ а2 [ 1 — Д (а, а)] - а2 [Д (а - i1 а)]2 — — 2ааД (а - I1 а) [1 — Д (а, а)] - а2 [1 — Д (аг а)]2. (8.5.22)
Приведем численный пример: ту«=а=100 (ИД в сутки) Tnx = 500 (знаков); о*— 100 (знаков); a = а = 100. Характеристики потока поступающих в ВЦ документов и распределение числа знаков в ИД такие же, как и в примере 1 этого пункта, но в нашем случае вводится в ВЦ в сутки не более 100 ИД (а = 100).
В п. 10.2 будет показано, что при больших значениях параметра а имеет место приближенное равенство (10.2.27): Д(т, а) » Ф((т + 0,5-а)/Уа) + 0,5; Ф(х)^ функция Лапласа; проведем расчеты:
Л (е- ie«)«0l5 + ?("-'+^-")=0,5 + ф(-^)«
« 0,5 — 0,02 = 0,48;
Я (a, а)« O1S + Ф (а + 0у5-~Л) = 0,5 + ф (?) «
« 0,5 + 0,02 - 0,52;
Я (а - 24 а) * 0,5 + Ф (" " 2 + " *) - 0,5 + ф(-я*
« 0,5 - 0,06 - 0,44
306 ГЛ. 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
Следовательно,
mv - 100-0,48 + 100•(I - 0,52) = 48 + 48 = 96; а2 [V] - 1002.0,44 + 100-0,48 + 100*-0,48 = 9248; А> = а2 [V] - ml = 9248 - 9210 = 32. Таким образом: Wi2 = mv-mx = 96-500 « 48 000 (знаков); Dz = mlDv + TnxDx = 250 000-32 + 96-10 000 « 896 • 104J oz = VK t* 2993;
коэффициент вариации
ог 2993 „ лго.
"те = 0*0024-
Мы видим, что по сравнению с условиями примера 1, среднее число вводимых в ВЦ знаков снизилось относительно мало (было 50000 —стало 48000), но коэффициент вариации изменился сильно (был 0,102 — стал 0,0624), т. е. общее число знаков стало почти не случайным. >
8.6. Числовые характеристики минимальной и максимальной из двух случайных величин
Задача 1. Случайная величина У определяется как минимальная из двух св.:
У-min U1, X2},
где X1 и X2 независимые непрерывные случайные величины с плотностями Z1(^1) и J1(X1). Найти числовые характеристики случайной величины У.
Решение. Рассмотрим гипотезу, состоящую в том, что случайная величина X2 попала в элементарный интервал (х2, Хг + dxz); вероятность этой гипотезы есть элемент вероятности J1(X1)Ux1. Найдем условное м.о. случайной величины У при этой гипотезе по формуле '(8.4.3), заменяя в ней величину а на х2, f{x) на /і(хі) и F(x) на F1(^1):
M [У I х2] - j Xj1 {X1) dx, + х2 [1 - F1 (X2)].
8 6. ХАРАКТЕРИСТИКИ МИНИМУМА И МАКСИМУМА 307
Тогда по интегральной формуле полного математического ожидания (8.1.20) получим:
OO
M [FJ = M [min {X1, X2}] = J M [F I X2] /2 (х2) dx2 =
— OO
1 (7 \
= j M (X1) ^x1 I /2 (х2) dx2 +
— OO \—OO /
OO
+ J хг [1 — Fi (?)] /2 (?) Ax2 = mXl + тХг —
— 00
OO 00
— J X1F'2(^1)/1(^1) Ux1- J X2F1(X2)Z2(X2)(Ix2. (8.6.1)
—00 —00
По формуле (8.1.22) найдем a2[Y]:
«2 [F] = M [(min {X1, X2})2] = а2 [X1] + а2 [X2] -
OO OO
— J ZlF2(X1)J1(X1)(Ix1— j 4^i(?)/2(?)(8,6.2)
— 00 —OO
где (X2[X1], Ot2[X2] — вторые начальные моменты случайных величин X1 и X2 соответственно. Дисперсию найдем по формуле
D [Y] = <х2 [Y] — (M [У])2.
Если случайные величины Xi и X2 распределены одинаково, то
OO
M [F] = 2тх - 2 J xF (х) / (х) dx, (8.6.3)
— оо
