Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
6г(т) = Р{при первых т опытах событие А появилось
хотя бы один раз).
На рис 8.3.1 показана зависимость G(m). Для наглядности (и только) точки соединены отрезками прямых.
После достижения результата А опыты прекращаются. Случайная величина Y — число опытов, которое придется произвести. Найти м. о. и дисперсию св. У.
Решение. Допустим временно, что опыты неограниченно продолжаются и после того, как достигнут результат А. Назовем і-й опыт «необходимым», если до него результат А еще не был достигнут, и «излишним», если уже был достигнут.
Рассмотрим случайную величипу ?/<, равную 1, если і-й опыт необходим, и 0, если излишен (индикатор «необходимости» ї-го опыта):
Ui =
1, если і-й опыт необходим, Oj если і-й опыт излишен^
8.3 ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ О ХАРАКТЕРИСТИКАХ
285
или, что равносильно,
1, если в предыдущих i—1 опытах результат А Ui= не достигнут, О, если достигнут.
Ряд распределения св. Uu
Olli
"і • G с< — і) 11 — в с* — 1) Ь (8'3,21)
Заметим, что CZ4 всегда равна 1 (первый опыт всегда необходим). По ряду распределения (8.3.21) находим:
M [UiI = 0•G (і - 1) + 1 Ц - G (i - 1)] = 1 - G(і - 1),
Очевидно, интересующая нас величина Y есть общее число необходимых опытов, то есть
OO
г=1
Найдем м. о. и дисперсию с. в. У. По теореме сложения математических ожиданий
М[У]= і M [tf,]-2 [l-G(i-l)]= 5 [l-G(m)}.
і—1 i=l го—О
Итак,
M [У] - 2 [1-6(/»)].
(8.3.22)
Для нахождения дисперсии вычислим сначала второй начальный момент с. в. Y:
OL2 [Y] = M [Y2] = M Возводя сумму в квадрат, имеем
(И
(і ^1Y = 2 с/? + 22 ад.
Таким образом,
о. [Г] - M f 2 1 + 2М Г S Uiui\ =2М [ff? J
+ 2 S M [t/iC/j]. (8.3.23)
286 ГЛ 8 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
Согласно ряду распределения (8.3.21)
M [U\] = О- G(I - 1) + I211 - G(I - 1)] = 1 - G(J- 1).
(8.3.24)
Найдем M[UiUj] при i<j. Случайная величина U(U} тоже имеет два возможных значения: 0 и 1. Она равна единице, только если обе случайные величины равны единице: Ui = Uj= 1, т. е. если оба опыта — і-й и ;-й — необходимы; для этого требуется, чтобы более поздний опыт — /-Й — был необходим, а вероятность этого равна 1 — G(j — 1). Ряд распределения св. UiUj {Kj) имеет вид:
U1U3 :
Kj
0
1
G (j - 1)
1 - С (/ - 1)
Откуда
M [С/*С/,] - 1 - G (J - 1) (і < Д (8.3.25) Сумма 2 M[CZiC/;] представляет собой двойную сумму
Kj
по і = 1, 2, 3, ... и по / = і + 1, г + 2, г + 3 ...:
OO OO
2 M [U1Uj] = 2 2 M [C/iC/;]. (8.3.2G) Подставим выражения (8.3.24)-(8.3.26) в (8.3.23)
OO OO OO
а,Щ-2(і-С(і-1)) + 22 2 (1-С(/-1))-
і=1 г=1 і=і+1
OO OO
= 2 (1 —G(m)) + 2 2 m(l-G(m)). (8.3.27)
m=0 m-=0
Следовательно, D[F]-a8 [У]-М[У2] =
OO OO
2 (l-G(m)) + 2 2 m(l-G(m))-
#1=0
2 (i-c(nO)
- M [Y] (1 - M [У]) + 2^m(I-C (m)). > (8.3.28)
Рассмотрим ряд примеров на применение решенпых выше задач.
8.3 ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ О ХАРАКТЕРИСТИКАХ 287
Пример 1. Ведется наблюдение с помощью радиолокатора за группой, состоящей из пяти объектов, г-й объект за время наблюдения обнаруживается с вероятностью Pi (i = 1, 2, 3, 4, 5); Pt = 0,1; рг = 0,2;
/?3 = 0,3; pk = 0,4; р5 = 0,5.
Найти м. о. числа объектов, которые будут обнаружены.
Решение. Обозначим X — число обнаруженных объектов. Согласно решению задачи 3,
M [X] = 2 Pi = 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5 = 1,5. *
Пример 2. В условиях предыдущего примера известно, что события At = {обнаружение і-то объекта} и Aj = (обнаружение /-го объекта} зависимы. Кроме вероятностей Pt, заданы еще вероятности Ру обнаружения нары объектов: 1-го и /-го (i<j):
Pli2 = 0,03; Рм = 0,04; Рм = 0,02; Р1>5 = 0,04;
Р2,3 - 0,08; Р2,4 = 0,09; Р2,5 = 0,09; Р3,4 = 0,03;
Р3(5 = 0,20; Р4,5 = 0,21.
Найти м. о. и дисперсию числа X обнаруженных объектов.
Решение. М [X] = I1S1 как и в примере 1. По формуле (8.3.10')
Ас=І] РіЯі+ 22 (Pц-PiPj) =
= 0,1-0,9 + 0,2-0,8 + 0,3-0,7 + 0,4-0,6 + 0,5-0,5 + + 2 - [(0,03 - 0,02) + (0,04 - 0,03) + (0,02 - 0,04) + + (0,04 - 0,05) + (0,08 - 0,06) + (0,09 — 0,08) + + (0,09 - O2IO) + (0,08 - 0,12) + (0,20 - 0г15) +
+ (0,21-0,20)] = 1,01, >
Пример 3. Производится стрельба по резервуару с горючим независимыми выстрелами; вероятность попада-пия в резервуар при каждом выстреле равна 0,2. Первый попавший в резервуар снаряд вызывает течь горючего, второй воспламеняет его. Как только произошло воспламенение, стрельба прекращается. Найти м. о., дисперсию
288 ГЛ. 8 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
и с. к. о. числа X снарядов, которое придется израсходовать. Найти приближенно число снарядов N1 которое нужно иметь в распоряжении, чтобы их хватило для воспламенения резервуара.
Решение. Согласно решению задачи 9
M[X]=A=I0; /),-^-40; а,- /40«6,32.
Максимальное практически возможное число снарядов, которое придется израсходовать, получим, прибавляя к M [X] (из осторожности) не Зо*, а 4ая и округляя до целых единиц:
*raax- 10 + 4-6,32 «35. >
