Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
M[U1Uj] = I-PiJ = PiJ1
8 3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ O ХАРАКТЕРИСТИКАХ 281
откуда
= Pа - PiPy Подставляя в (8.3.10), получим:
D [X] = І Piqt + 2 2 (Pi} - piP}). (8.3.10')
В случае, когда опыты независимы, P0 = ptph и формула (8.3.10') переходит в уже знакомую нам формулу (8.3.8).
Рассмотрим частный случай, когда все опыты производятся в одинаковых условиях:
Pi= Pz = ... = Pn = р; Рц = const = Р.
Тогда M [X] = пр, а формула (8.3.10') дает:
D [X] = npq + (п - 1) п (P - р2), (8.3.11)
где q = 1 — р, P — вероятность появления события А сразу в двух опытах — все равно, каких. >
Задача 6. Математическое ожидание и дисперсия св. X, имеющей гипергеометрическое распределение (п. 5.4).
Решение. Напомним, в каких условиях возникает гипергеометрическое распределение: производится вынимание п шаров из урны, в которой а белых и b черных шаров; случайная величина X—число белых шаров среди вынутых:
рт = P (X = т) = С?СГт/Спа+ъ (0 < т < а).
Рассмотрим п вниманий шаров как п зависимых опытов, производимых в одинаковых условиях. Вероятность события А = (появление белого шара) во всех опытах одна и та же и равна р = а/(а + Ь). Согласно решению предыдущей задачи
M [X] » пр = па/(а + Ь). (8.3.12)
Найдем дисперсию св. X по формуле (8.3.11). Вероятность того, что любая пара шаров будет белой, равна
р_ а а — 1 _ Ь
+ q~a + b
и формула (8.3.11) дает:
1 lj_
-l U+
nab
D[X] = га~Ь-4-г+ п(п- 1)
__, а (а —і) ( a Y
^р+М" V[(a + b)(a + b^l) -(a + bj
a -\-b a + & — 1 \d-j-b t
(8.3.13)
282
ГЛ. 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
В п. 5.4 мы уже приводили эти формулы для м. о. и дисперсии гипергеометрического распределения. >
Задача 7. Математическое ожидание и дисперсия среднего арифметического из п независимых наблюдений случайной величины X. Имеется св. Xc м. о. тх и дисперсией Z)x; над ней производится п независимых наблюдений, давших результаты Хи X21 ..., Xn (п «экземпляров» св. X). Вычисляется их среднее арифметическое:
і=1
Найти м. о. и дисперсию с в. Y.
Решение. По формуле для м. о. линейной функции (см. формулу (8.2.9)) находим:
мт--ім|2хі| -x2m»-T'm*",n^ (8-ЗЛ4)
то есть м. о. среднего арифметического из п независимых наблюдений св. X равно ее м.о. пгх.
По теореме о дисперсии линейной функции (см. формулу (8.2.13))
D [Y] - І- J D [X1] - ^ - T' (8'3' 15>
то есть дисперсия среднего арифметического из п независимых наблюдений св. X в п раз меньше дисперсии самой с. в. X. Отсюда
Oy = QjU1 (8.3.16)
то есть при увеличении числа опытов п с к. о. их среднего арифметического уменьшается обратно пропорционально У п. >
Задача 8. Математическое ожидание и дисперсия частоты события при п независимых опытах. Производится п независимых однородных опытов, в каждом из которых может произойти или не произойти событие А\ вероятность события А во всех опытах одна и та же и равна р. Случайная величина р* — частота событий A1 то есть отношение числа X появлений события в п опытах к общему числу
8 3 ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ О ХАРАКТЕРИСТИКАХ 283
опытов п:
Р* = Х/п. (8.3.17)
Найти м. о. и дисперсию случайной величины р*.
Решение. Св. X имеет биномиальное распределение с параметрами п7 р\ ее м. о. равно тх = пр; ее дисперсия Dx = npq, где Q = I-P- Из формулы (8.3Л7) следует, что
M Ip*} - M [X]In = пр/п = р, (8.3.18)
т. е. ж. о. частоты события в п однородных опытах равна его вероятности в одном опыте. Находим дисперсию
D [/>*] = D [X]In2 - npq/n2 = (8.3.19)
т. е. дисперсия частоты события в п независимых однородных опытах равна pqln, где ? = 1 — р — вероятность непоявления события в одном опыте. >
Задача 9. Математическое ожидание и дисперсия числа опытов до к-то появления события Л. Производится ряд независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р. Опыты ведутся до тех пор, пока событие А не появится к раз, после чего опыты прекращаются. Найти м. о. и дисперсию случайной величины Y{h) — число опытов, которое будет проведено.
Решение. Представим св. Y{k) в виде суммы:
где X1 — число опытов до первого появления события А (включая первое появление события А);
X2 — число опытов от 1-го до 2-го появления события А (включая 2-е);
— число опытов от (і — 1)-го до і-го появления события А (включая f-e);
Хъ —~ число опытов от (/г — 1)-го до /с-го появления события А (включая /с-е).
Из п. 5.3 мы внаем, что с. в. X1 имеет «геометрическое + 1» распределение с параметрами m=*l/p и D =
284
ГЛ. 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
= q/p2. Но точно такое же распределение с теми же параметрами имеет и каждая из остальных св. Xt (і — = 2, ..., к). Отсюда
м [Y(h)] = S і/р -
г=1
(8.3.20)
Задача 10. Числовые характеристики числа опытов, нужного для получения заданного результата Л. Производится ряд опытов, в общем случае — зависимых, с целью достижепия заданного результата А. С возрастанием числа опытов т вероятность достижения результата A1 естественно, не убывает. Задана неубывающая функция целочисленного аргумента т = 0, 1, 2...:
