Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Формула (8.2.24) озпачает, что для независимых случайных сомножителей знак математического ожидания M и знак произведения II можно менять местами.
10. Дисперсия произведения независимых случайных величин X1, X2, ..., Xn выражается формулой
H(Di + m])-i[mi (8.2.25)
i=l i-1
Li=i
где
A = D[X1]; Mi = M[X1]. Доказательство. По определению дисперсии:
Li=I
-м
i=i
Ux1
2 = 1
Возводя в квадрат и применяя формулу (8.2.24), получим:
D П X1
= м
П \2 In \ I п \ I п \ 2"
UXi)-2[U^)[JI X^[U mi) .
К этому выражению применим формулы (8.2.9) п (8.2.24):
П
UXi
і=1
M
Ux{
і=і
-2{Um){U^ + [Urn)j.
274
ГЛ. 8 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
Так как [ЦхЛ -П*іиМ)Ш? =ПИ*П =
\і=і J L i=i j ї=і
і-i^ ^ Lf=I j і=і \і=і /
+ І II тг) » чт<> и требовалось доказать.
Формулу (8.2.25) можно записать через вторые начальные моменты:
Ux1
t=i
где CLi[Xi] второй начальный момент с. в. X1. При п = 2 имеем
D [X1X2] = Z)1Z)2 + D1TnI + Z)2W*,
при п = 3
D [X1X2X3] = Z)1Z)2Z)3 + D1D2TnI + D1D3TnI + D2Djn\ +
+ D1TnImI + Z)2WiW31 + Z)3WjW2-
Если св. X1, X2, Xn независимы и центрированы (mi = О, і = 1, ..., п), то
D
Li=I
i=l
П Dt. (8.2.2G)
і=1
11. Числовые характеристики векторной суммы случайных величин. Рассмотрим два и-мерпых вектора:
а с составляющими Х!/\ ..., Xn0 и Х(2) с составляющими Х(!2), Х22), ..., Х(п2),
Векторной суммой двух Jl-мерпых случайных векторов
Х(1) и Х(2) называется л-мер-^TT) # ный случайный вектор F=8
ри g9] =Х(1) + Х(2\ t-я составляющая
которого равна сумме 1-х составляющих случайных векторов Х(1> и Х(2):
Y1 - X\l) + X^ (I = 1, 2, ,.п). (8.2.27) На рис. 8.2.1 дана геометрическая интерпретация вектор-
8 2 ТЕОРЕМЫ О ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ 275
Df = DY' + DY\
K{$ = M [X f Xf] + M [XfXf] = * <j} + к\*\
(8.2.31)
т. е. математическое ожидание Yt — і-й составляющей
ной суммы двух случайных двумерных векторов на плоскости .T1Ox2.
Числовые характеристики и-мерного случайного вектора Y равны:
т\у) « M [Y1) = M [X\l) + Х\2)] = m\l) + го'Д (8.2.28)
где m\l) = M [Х\1)1 mf = M [X^] (і = 1, 2, ..., п).
Элементы ковариационной матрицы Ца^Ц случайного вектора Y определяются следующим образом:
Kf = M [(Y1 - mT){Yj - mf)] = M [5? =
= M [{Xf + Xf- mf- nJf)(Xf + Xf- mf- mf)] =
= M[(Xf + Xf)(Xf + Xf)] =
- M [XfXf) + M [XfXfI + M [XfXf] + M [XfXf ] = = Kf + Kf(2) + Kf+ Kf. (8.2.29)
Применяя свойства ковариации Kf = Kf, получим: Kf ^ + К{^1) = Kf(2) + Kf(1\ (8.2.29')
В соответствии с определением дисперсии и с учетом теоремы о дисперсии суммы получим выражение для
—>
дисперсии г-й составляющей случайного вектора Y:
Df = Kf = Df + Df + 2Kfi2), (8.2.30)
VWDf = D[Xf], Df = D[Xf].
12. Числовые характеристики случайного вектора Y9 равного сумме двух некоррелированных n-мерных случайных векторов Х(!) (с составляющими Х[1\ Х(21\ ...
...,X^) и Ъ2) (с составляющими Х\2\ Х[2\ ...,Х(„2)), определяются по формулам:
ITl i = ш\ 7Tt і , ¦№) — n(D і Г)(2)
276 ГЛ. 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
вектора У — равно сумме математических ожиданий соответствующих составляющих векторов Х(!) и Х(2); дисперсия случайной величины F1 равна сумме дисперсий этих составляющих, а ковариация составляющих У< и Yj
случайного вектора У равна сумме ковариаций составляющих и *</> вектора Х(1) и составляющих Xf и
Xf вектора Х(2>.
Доказательство формул (8.2.31) следует непосредственно из формул (8.2.28) и (8.2.29), так как для некоррелированных векторов Х(1) и Х(2) Ку)(2) = 0 (?, / — -1, 2, ...,л).
Так как сумма двух квадратных матриц порядка п равна квадратной матрице того же порядка U1 у которой элемент матрицы равен сумме соответствующих элементов суммируемых матриц, то имеет место равенство
WI-lAOM + im (8.2.32)
л
Это равенство называется теоремой с л о ж е н и я ковариационных матриц: ковариационная мат-рица суммы двух некоррелированных случайных векторов равна сумме ковариационных матриц слагаемых.
8.3. Применение теорем о числовых характеристиках к решению инженерных задач
Зная свойства числовых характеристик, мы можем решить ряд общих задач, о которых уже упоминалось ранее.
Задача 1. Коэффициент корреляции линейно зависимых случайных величин. Случайная величина У связана со с. в. X линейной зависимостью
Y = aX+b, (8.3.1)
где а и b — неслучайные величины. Найти коэффициент
КОрреЛЯЦИИ Гху с. в. X и У
Решение. По определению
гху = KxJ (охОу), где /Сгу — ковариация с. в. X и Y1 оХ1 O1, —их с. к. о. Най-
8.3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ O ХАРАКТЕРИСТИКАХ
277
0 0 о
дем ковариацию: Кху = M [XY]; св. Y = Y — ту = аХ +
о
+ Ь — M [аХ + Ъ] = аХ + Ъ — атх — Ь = a (X — mA) = аХ. Отсюда
Кху = M [XaX] = aM [X2] = aDx.
Дисперсия св. Y равна:
D [аХ + Ь] = D [аХ] = a2Dx = Z>y; ау — | a | ох.
