Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Вентцель Е.С. -> "Теория вероятностей и ее инженерные приложения" -> 77

Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения: Учебное пособие — М.: Высшая школа, 2000. — 480 c.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка): teriya-veroyatnosti-2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 137 >> Следующая


3. В некоторых случаях (при особом виде преобразования ф) для нахождения числовых характеристик выхода не требуется даже знать закон распределения входа, а достаточно знать только его числовые характеристики.

В данной главе мы рассмотрим вторую и третью задачи—определение числовых характеристик выхода без нахождения его 8 акон а распределения.

Мы уже упоминали о том, что во многих практических задачах удается находить числовые характеристики интересующих пас случайных величии, вовсе не зная их законов распределения. В дапной главе мы в этом убедимся. Добавим, что искусство примепения теории вероятностей в прикладных задачах в значительной мере сводится к умению обходиться числовыми характеристиками, минуя ваконы распределения. Чем искуснее в своем деле специалист по прикладной теории вероятностей, тем свободнее он пользуется аппаратом числовых характеристик и тем реже прибегает к законам распределения.

Рассмотрим, одну за другой, несколько задач па нахождение числовых характеристик функций случайных величии.

Задача 1. Числовые характеристики функции одного случайного аргумента. Рассмотрим с. в. F, зависящую функционально от с. в. X:

У-Ф(Х). (8.1.2)

9*

260 ГЛ. 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ

Предположим, что с. в. X дискретна и мы знаем ее ряд распределения:


*2
...
*i
...
*п

Pl
Р*

Pi
...
Pn

где

Pt-p(X-— 2, ...,и);

2 Pi

І = 1

(8.1.3)

1. (8.1.4)

При X = Xi У~ф(#<); вероятность этого события равна Pi. Может показаться, что мы уже нашли ряд распределения с. в. Y:

(8.1.5)

4>(*i)
<р(*2)
...
ф(*<)
...
Ф(*п)

Pl
P2


...


Но это не совсем так: в ряде распределения с. в. Y значения верхней строки должны идти в возрастающем порядке; кроме того, некоторые из ч>{хі) могут совпадать, и при построении ряда распределения с. в. У соответствующие вероятности должны складываться. Но для того, чтобы найти числовые характеристики с. в. У, такого «упорядочения» вовсе не нужно, достаточно ряда распределения с. в. У в форме (8.1.5). Действительно, находя сумму произведений возможных значений с. в. У на их вероятности, получим,

ту . M [Y] = M [<р (X)] = і ф (Xi) pi. (8.1.6)

і=1

Таким образом, зная закон распределения аргумента X1 можно сразу найти математическое ожидание его функции (8.1.2).

Аналогично находится дисперсия с в. У:

D [Y] -M(H

о

где У = У — ту.

Действительно, (У— туу есть некоторая функция с. в. X:

(Y ~ ту)2 = [ф (X) — тпу]2, а ее математическое ожидание, согласно (8.1.6), равно

Dy - D [Y] - S М*і) ~ Щ?Ри (8.1.7)

і=1

8.J. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ ФУНКЦИИ 26]

п

«im -S W(Xi)]1Pu

«-і

п

1=1

(8.1.8)

(8.1.9)

Если с. в. X непрерывна и имеет плотность /(.г), то, заменяя в формулах (8.1.6), (8.1.7), (8.1.8), (8.1.9) вероятности Pi элементом вероятности f(x)dx, а суммы — интегралами, получим:

OO

ту = M [Y] = M [(f (X)) = j ф (*)/(*) Ar, (8.1.10)

— оо

OO

Я, - D [F] -М [У»]- j (Ф (х) - т„)2/(*) dx, (8.1.11)

— OO

OO

а*т -М[У'] - J [Ф (*)]'/(*) Ar, (8.1.12)

— 00 OO

ц,[У] = М[Г']= j [ф(х)-т„]!/(х)йх. (8.1.13)

— оо

Мы видим, что для нахождения числовых характеристик функции Y = ^(X) вовсе не нужно знать ее закон распределения, а достаточно знать закон распределения аргумент а.

Пример 1. Непрерывная св. X распределена с плот-

ностью

, / V COS X / (Х) = —тр- При X '

fix)-1/2

Cos X

:(~т;+т) (рїіс- 8лзь

CC

Рис. 8.1.3

Найти м.о., дисперсию св. Y = 2 — 3 sin X == ф(Х). Решение.

Я/2

Я/2

M [У]- j ф (ж)/(*)Аг- j (2-3 sin*) ^Ac-

-ПІ 2

-Я/2

Аналогично определяются и начальные и центральные моменты любых порядков с. в. К:

262 ГЛ 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИИ

Я/2

Я/2

Gt2[Y]= J [ф (x)]2f(x) dx= J (2-3 sin xf^dx = 1;

—я/2 —л/2

D [Y] - а2 [У] - (M [У])2 - 1 - (1/2)2 - 3/4. >

Задача 2. Числовые характеристики функции нескольких случайных аргументов. Если с. в. Y (выход преобразователя ср) есть функция не одного аргумента, а нескольких: У = ф(Хь X2, ... ...,Xn), и известна совместная плотность f(xu х2, хп) системы аргументов, то м. о., дисперсия, начальные и центральные моменты с. в. Y определяются формулами:

OO OO

my=M[Y] = J (n) j Cp(X1, .. Xn)J(X1, .. .J dxx ... dj-rt,

— OO — OO

(8.1.14)

оо оо

A/= J <л) J [ф (xv Xn)—my]2f (X1, .. Xn)^r1 ... dxay

— CX) — OO

(8.1.15)

OO OO

аЛУ] = \ <"> j [ф (.X1,., .г «„)]' / (X1, ...,Xn )dxx ... dxn,

(8.1.16)

OO OO

Pl[Y)= J (n) j [ф(*1> . » •J ^n) — rny]1 J(X1, . . .. Xn) <?ХД . . , dr„t

— 00 —00

(8.1.17)

Пример 2. Точка С/, изображающая объект на круглом экране радиолокатора, распределена равпомерпо в пределах круга радиуса г (рис. 8.1.4). Найти м. о., дисперсию и третий цептральпый момент расстояния L от точки U до центра экрана.

Решение. В примере 6 п. 7.5 было показано, что координаты точки U внутри круга радиуса г
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 137 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed