Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
имеют плотность распределения 1
У) = 7? (хг+ j/2 < г2). Расстояние L выражается через декартовы координаты X, y точки U так: L -» УХ2 + Y\ Следовательно, M [L] —
80JI + У2, —* dx dyx где область К — круг радиуса г.
(A) яг*
у
\
\ 0
Рис. 8.1.4
8.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ ФУНКЦИИ 263
4г»
Следовательно,
D |tj - a, ItJ - (M ILIf - 4 - -д- - и,
о |tj, KD]I], ф.
Третий центральный момент определяем по формуле [L]-MKL-M(L])3] =
(К)
О О
Вернемся к числовым характеристикам св. Y — «ф(Хі, ..., Xn) и запишем их в несколько другом виде, чем (8.1.14)-(8.1.17). Плотность распределения системы с. в. (X1,.. .,Xn) может быть записана так: f(xh .. .,х„) =
/i, ...,А • . •» 1» •••» Xn)fh+l.....n(#*+l, ..., #n), где
/і.....ft(#i, х*Ід:*+і, Orn)—условная п. p. системы св.
(Xи Xz1 ..., ХА), вычисленная при условии, что с. в. (Xh+il ..., Xn) приняли определенные значения xk+il ...
хП1 Д+1.....п(хк+и Xn)— п. р. системы с в. (Xft+1, ...
• t •, Xn)»
Тогда формула (8.1.14) может быть записана в виде: ту = U [Y] =
OO OO
= J(fi) J ф (X11 Xn)fu...th{xLl ...tXbl Xh + U ,..і Xn)X
Перейдем к полярным координатам х — р cos ф, у = = р sin ф. Якобиан преобразования равен р. Тогда
Г /?Л V Г 2Л г
О 4O / О О О,
Аналогично найдем: а2 [L] - M [L2] -
(Я) о 4O /
2С4 ГЛ. 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
\
X/ь4-1,...,п (#л+і» • • • j #/.) ^x1 • • • dxn =
со оо f оо оо
= J <n-ft> j I j (ft) j ф(хх, ...,Xn)X
— со —oo I —UO —00 '
X/i.....h {%v **+i> . .., *n) ... X
XД+1.....n(*A+i, *n)dxA+1 ... dxn. (8.1.18)
«Внутренний» /с-кратный интеграл, стоящий в фигурных скобках, представляет собой условное математическое ожидание M[F| хА+1, ..., #п] с л у ч а й-ной величины У, вычисляемое при условии, что случайные величины Xk+i, ..., Zn приняли определенные значения xAfl, ..., хп:
M [Y|xft+1? ..., Xn] = 00 00
J (ft) j 9(X1, ..., Xn)J1.....h{xu..., xh\xk+u ..., Xn)X
— 00 — 00
XdX1...^. (8.1.19)
Следовательно, безусловное м. о. M [Y] будет определяться через условное M[Y|xA+1, ,..j Xn] по формуле:
OO OO
M [Y] = j («-w J M [У I ...., Xn] X
— 00 —00
X .,n(*fc+if . -., Xn) dxh+t *.. dxn, (8.1.20)
которая носит название интегральной формулы полного математического ожидания.
По формуле, аналогичной (8.1.19), можно найти условный начальный момент Z-го порядка M [Y1 | хА+1, ...
Xn] с в. У, вычисляемый при условии, что с в. Xft+1,... Xn приняли определенные значения хл+1, хп:
(Xf [У I Xj1+1, ...,Xn] =
00 OO
= j (ft) J [ф (X1, . . .,Xn)J^Z1.....Zt(X1, ...,Xft I XA + 1, ...,Xn)X
— 00 —00
X^x1 ... dxfc, (8.1.21) а безусловный начальный момент 1-го порядка с. в. Y,
8.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ ФУНКЦИИ 265
О
1
1-P(A)
P(A)
Откуда (в соответствии с формулой (8.1.14)) получим P(A) = M [U] = M Ix(X1, X2.....Xn) =
OO OO
« J (п) J X(X1, ..., Xn) f (xv ..., Xn)ClX1 ... dxn, (8.1.24)
— 00 —OO
т. е. вероятность события А равна математическому ожиданию индикатора этого события Л.
Аналогично тому, как было определено условное математическое ожидание (8.1.19), определяем условную вероятность события А:Р(А\хк+1, ...*#n)» вычисляемую при условии, что случайные величины XjH-I1 Xn
будет определяться по формуле
оо OO
а, [У]= J (п-*> J" а, [У I ...,ль] X
— 00 —OO
X A+I.....ті (*а+ь • • •> хп) dxk+l ... dxn. (8.1.22)
Обратим особое внимание на способ вычисления дисперсии случайной величины Y через второй начальный момент:
D [Y) _ а2 [Y] - т2ю (8.1.23)
где величины (X2[Y] и ту определяются по формулам (8.1.22) и (8.1.20) соответственно.
В различных инжеперных приложениях бывает удобно выражать индикатор U события А (см. формулу (3.3.1) п. 3.3) как функцию нескольких с. в. X4, X2,..., Xn:
(1 — если событие А имело место;
ЛЧ 1 ' (0 — в противном случае.
Например, событие А состоит в том, что техническое устройство работает нормально; при появлении события А его индикатор равен единице: U = %(XU ..., Xn)= 1, где X1, ..., Xn- случайные параметры, связанные с работой устройства (температура, давление, влажность и т. п.). Мы знаем (п. 3.3), что индикатор события А есть дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения
U = t(Xv ...,Xn) :
206 ГЛ 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
приняли определенные значения яА+1, хп: P(A j xh+l1 ..., Xn) =
OO OO
— J (к) J Х(*1* »• Ч *n)/l.....h(*V •.•, **|*а+ь ••., ^n)X
— OO —00
X^x1 ... dsA. (8.1.25)
Тогда безусловная вероятность события А вычислит-ся по формуле, аналогичной (8.1.20):
P и)-
оо оо
— j ("~ft> J P (А І *а + ь і - *i *п) /a + і.....г» (Xh+u . і . і «n) X
— OO —OO
xArA+1 ... dxnf (8.1.26)
которая носит название интегральной формулы полной вероятности.
Частным случаем этой формулы является ранее выведенная формула (3.4.7).
