Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
D I 2 Xi] = 2 2 Kij. (8.2.10)
Так как ковариациопная матрица II/Sf0Il симметрична относительно главной диагонали, на которой находятся дисперсии отдельных величин, то формулу (8.2.10) можно переписать в виде:
d[ S X1] = І D[XiJ + 2 S Kih (8.2.11)
270
ГЛ. 8 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКГИЙ
где суммирование во втором слагаемом распространяется на все те элементы ковариационной матрицы, которые стоят правее и выше ее главной диагонали. Число таких элементов равно п(п — 1)/2 = (пг — п)/2.
Доказательство. Выразим дисперсию суммы через ее второй начальный момент:
2 Xi
м
2 X1-M
L Vi=I
2*.
L г-1
Применяя формулу (8.2.6), получим:
M
2 X1-M
L M=I
п
jU л і
1=1
S (JSr4-M[X1]
L Vt=I
L\i=i і=і і
M
n n о о
= 2 2 м [X1X;] = 2 2 кі},
что и треоовалось доказать.
Следствие. Если св. Хи ..., Xrt некоррелированны, то справедлива теорема сложения дисперсий:
п
2*і
- 2 D[X,],
(8.2.12)
т. е. дисперсия суммы некоррелированных с. в. равна сумме дисперсий слагаемых. Теорема сложения дисперсий, разумеется, справедлива и в случае, когда случайные величины независимы, так как из независимости с в. следует их некоррелированность.
8. Дисперсия линейной функции случайных величин определяется по формуле:
п "In
а0 + S *іХі = 2 alD [X1] + 2 2 аіа)Кф (8.2.13)
i=l J i=l Kj
где a0, Яі, ..., an — неслучайные величины, Кц — элемент ковариационной матрицы HAf0ii системы с. в. (Xi, ..., Xn).
Формула (8.2.13) может быть записана также в виде:
n Inn
а0 + 2 aiXi =22 U1UjK1J. (8.2.
i=l J i-1 J=I
14)
8 2. ТЕОРЕМЫ О ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ 271
До + 2 aixi
i=l
п 1
2 (I1X1 ! = D
2^
, (8.2.15)
где Yt = U1Xt (і = 1, дг). Применяя к правой части (8.2.15) теорему о дисперсии суммы (8.2.10), получим:
D
ао + 2 й\Х{ i=i
- S D[Yi]+ S S , (8.2.16)
i=l г=1 ;=м
гделі;- — корреляционный момент случайных величин Yu Yj. По определению,
tfif = M [УіУ;] - M [(Fi - т\у)) (Yj - mf)l (8.2.17)
по
m\v) = M [У>] = M [CIiX1] = яіМ [Xi];
mf = M [У;] = M [а;Х;] = а,М [X,] и формула (8.2.17) дает
0 0
= M [^i(Xj — т{) CLj (Xj — TTIj)] - я^М [X1Xj] = CL1U3KiJl
из (8.2.16) следует, что
D
я0 + 2 = D
2 CIiX1
І-1
2 D M1]+22 вівДи
i^l
или, окончательно, вынося а* за знак дисперсии, получаем
п п п
ао + 2 агхі
i=l
і=1 г=1
и формула (8.2.13) доказана.
Из формулы (8.2.13) следует, что если случайные величины X1, Xn пе ко р ре л ир ов а ны (Л\, = О при ї^/), то дисперсия их линейной функции вычисляется
Доказательство. Найдем дисперсию случайной
п
величины а0 + 2 а>\Хй так как при прибавлении к слу-
i = l
чайной величине неслучайной ее дисперсия не меняется, получим
272 ГЛ. 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
по формуле
D L + 2S fli^l - І a\D [X1]. (8.2.18)
L i=l J г=1
9. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс их ковариация:
M [X1-X2] - M [X1] M [X2] + AT12. (8.2.19)
Доказательство. Будем исходить из определения ковариации:
K12 - M [X1X2] - M [(X1 - M1) (X2 - Hi2)] =
= M [X1X2 — W1X2 — Hi2X1 + W1ZTi2], (8.2.20)
TAeTn1 = M[X1]; Hi2= M [X2].Применяя теорему сложения математических ожиданий и вынося пе случайные величины Hi1, Hi2 из-под знака м, о., получим
K12 = M [X1X2] - Hi1M [X2] — Hi2M [X1] + Hi1Hi2 =
- M [X1-X2] - M [X1] •M [X2], (8.2.21)
откуда следует доказываемая формула (8.2.19).
Формулу (8.2.21) часто применяют для вычисления ковариации. Полезно запомнить ее словесную формулировку: ковариация двух случайных величин равна мате-магическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий.
Следствием этого правила является широко применяемая формула, выражающая дисперсию одной случайной величины X1 через ее второй начальный момент:
D [X1] - M [XJ] - (M [X1])2. (8.2.22)
Действительно, D[X1] = K11; применяя формулу (8.2.21), получим (8.2.22).
Если случайные величины Xi, X2 некоррелированы (#12 = 0), то формула (8.2.19) дает:
M [X1X2] - M [X1] •M [X2], (8.2.23)
то есть математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Это положение называют теоремой умножения математических ожиданий.
8.2. ТЕОРЕМЫ O ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ
273
Теорема умножепия м. о. обобщается и на произвольное число сомножителей, но в этом случае для ее применения недостаточно, чтобы величины, образующие произведение, были некоррелированы: требуется, чтобы обращались в нуль и некоторые высшие центральные смешанные моменты, число которых зависит от числа сомножителей. Не останавливаясь на подробностях, сообщим, что эти условия заведомо выполнены при независимости сомножителей. В этом случае:
M [U^l-I[M[X,]. (8.2.24)
Li=I J і=1
т. е. математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. Формула (8.2.24) легко выводится из (8.2.20) методом полной индукции.
