Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Находим коэффициент корреляции rxv:
°х°у
то есть
1Xy
1 при а < О,
0 при a = О,
1 при a > 0.
(8.3.2)
Функция, обладающая такими свойствами (быть равной 1 при положительном аргументе; —1 при отрицательном и пулю при нулевом) в математике обозначается «signя» («сигнум икс»):
Signa: =
Таким образом,
— 1 при а?<0,
0 при J = O,
1 при X > 0.
г*У = sign а.
(8.3.2')
(8.3.3)
Мы доказали, что коэффициент корреляции св. X и Y9 связанных линейной зависимостью (8.3.1) равен +1 при а>0 (то есть, когда при возрастании X величина Y тоже возрастает); равен —1, когда а<0 (при возрастании X величина Y убывает) и обращается в нуль, когда а = 0, т. е. линейной зависимости между X и У не существует. >
Задача 2. Границы изменения коэффициента корреляции. Доказать, что для любых св. X и Y коэффициент корреляции по модулю не превосходит единицы:
IrJ <1. (8.3.4)
278
ГЛ. 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
Решение. Рассмотрим св. Z = суХ ±oxY, где °*> оУ — с. к. о. случайных величия X и. Y:
ох = УДГ; оу = 1Ту.
Определим дисперсию св. Z. По формуле (8.2.13) для дисперсии линейной функции св. X її Y найдем:
D [Z] = o2yDx + olDy ± 2охоуКху = 2olo2y ± 2oxovKxy.
Так как дисперсия случайной величины отрицательной быть не может, то
2о\о\ ± 2охоуКху > О или охОу±КХу>0, откуда \Кху\<охоу, а следовательно,
Задача 3. Математическое ожидание числа появлений события в серии опытов. Производится серия из п опытов, в каждом из которые может появиться или не появиться событие Л; вероятность появления события А в i-n опыте равна pt (I ~ = 1, 2, ..., п); св. X — общее число появлений события А в серии из п опытов. Найти м. о. случайной величины X.
Решение. Представим св. X в виде суммы п слагаемых:
X = 2 Uu
где ЕЛ — индикатор события А в і-м опыте:
(1, если событие А в і-м опыте появилось, С/- = -
1 (0, если А не появилось.
По теореме сложения математических ожиданий:
і=і
Но в п. 4.2 мы показали, что м. о. индикатора события равно его вероятности в данном опыте, т. е. M [Ui] -= р% ¦ откуда
M [X] = ? ри (8.3.5)
т. е. математическое ожидание числа появлений события
8 3 ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ O ХАРАКТЕРИСТИКАХ 279
1, если в і-м опыте событие А появилось, О, если А пе появилось.
Так как опыты независимы, то независимы и все случайные величины Ui, U2, Un. Формула (8.3.5) сохраняет силу:
M [X] - 2 Pi- (8-3-7)
1=1
Найдем дисперсию св. X, выраженной суммой (8.3.6), по теореме сложения дисперсий:
D[X] = ^D[U1]. i=i
Но мы в п. 4.2 показали, что дисперсия индикатора события А в і-м опыте равна где qt = 1 — ри отсюда
D[^] = SMf. (8.3.8)
i=i
Итак, в серии независимых опытов математическое ожидание числа появлений события равно сумме вероятностей его появления в отдельных опытах, а дисперсия числа появлений события равна сумме произведений вероятности появления на вероятность непоявления события в отдельных опытах.
в п опытах равно сумме всех вероятностей его появления в отдельных опытах.
Специально отметим, что формула (8.3.5) для м. о. числа появлений события применима к любым опы-там - как зависимым, так и независимым. >
Задача 4. Математическое ожидание и дисперсия числа появлений события в серии независимых опытов. Проводится п независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться событие А; вероятность его появления в і-м опыте равна />,. Найти м.о. и дисперсию св. X — числа появлений события А.
Решение. Снова представим св. X как сумму индикаторов события А в отдельных опытах:
X = 2 Uu (8.3.6)
где
280
ГЛ. 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
В частности, когда вероятность появления события во всех опытах одіта и та же:
Pi = Pz = - - . = Pi = - - - = Pn = />,
то
M [X] = пр\ D [X] = npq, (8.3.9)
а это — уже знакомые нам числовые характеристики с. в. X1 имеющей биномиальное распределение с параметрами п и P1 которые мы вывели иным способом в п. 5.1. >
Задача 5. Математическое ожидание и дисперсия числа появлений события в серии зависимых опытов. Производится серия из п зависимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться событие А; вероятность его появления в і-м опыте равна /?<; вероятность его совместного появления в 1-м и ;-м опытах равна Рц (в общем случае для зависимых опытов Pa^p1Pj). Найти м. о. и дисперсию числа X появлений события А во всей серии опытов.
Решение. Формула (8.3.5) для M[X] сохраняет силу:
м [X] = і Ріа
1=1
Чтобы найти дисперсию D [X]1 применим к св. X =
п
e2 Ui, где Ui — индикатор события А в 1-м опыте, тео-
г=1
рему о дисперсии суммы:
D[X]-2D[fff] + 22*iif (8.3.10)
i = l Kj
где Ku — ковариация св. Ui1 Uj. Выразим ковариацию через м.о. произведения (см. формулу (8.2.19)):
Кц - M[UrUj]- M[Ui] M [и,].
Случайная величина Ui-Uj имеет только два возможных значения: 0 и 1; она равна нулю, если хотя бы одна из величин Ui или Uj равна нулю, и равна единице только если Ui = I1 Uj=I1 то есть и в 1-м, и в /-м опытах событие А произошло:
