Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Решение. Вероятность р найдем из условия
p-P{{L<l)-(C<cHT<t)}.
Так как с. в. L, С и T независимы, то
p = P{L<l}.P{C<c}P{T<t}.
По формуле (7Л0.13) получим
х[ф(Цр)_Ф
(- «>) (- оо) + 0,5
Ф(
Ф
Ф
-oo)J 0,5 Jx
^ + оД
X
Пример 2. Рассматривается вывод межпланетной станции (MC) в заданную область космического пространства (КП) в заданное время t. Область КП, куда должна быть выведена MC, представляет собой эллипсо* ид Z?,, подобный эллипсоиду рассеивапия, полуоси которого равны двум с. к. о. по соответствующим координатам рассеивания MC в КП; координаты MC (X1, X2, X3) относительно центра области O3 в момент t представляют систему независимых, нормально распределенных с. в. с характеристиками mt = тг = яг3 = 0; оь о2, O3. Ошибка во времени T распределена нормально с характеристика-
256
ГЛ. 7. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
ми nit = 0; Ct и не зависит от с. в. Zi, X2, Z8. Определить вероятность P того, что MG будет выведена в область Вг КП в интервале времени t ± 2ot.
Решение. Искомую вероятность находим из условия
P = P{(Z1, X2, Z3) <=В3).Р{- 2о, < T< 2ot).-По формуле (7.10.33) для п = 3 и к = 2 находим
3—2
P {(X1x X21 X3) є B3) - 2Ф (2) - Й е-*2/* 2 Si « V39-
г Я Wl=I
По формуле (6.3.17)
P {_ 2о< < T7 < 2а«} = 2Ф & 0,955,
Окончательно получим
Р« 0,739-0,955 «0,706. >
Пример 3. Условия предыдущего примера остаются теми же, за исключением того, что рассматривается
четырехмерное пространство независимых нормальпо распределенных св. (Xi, Z2, Х„ T). Требуется найти вероятность P попадания этих с. в. в четырехмерный гиперэллипсоид Ві9 подобный гиперэллипсоиду рассеивания указанных с. в., полуоси которого равны двум с. к. о. по соответствующим координатным осям.
Решение. По формуле (7.10.33) при п = 4; к = 2 находим
P = PJ(Z1, Z2, Z3, Г)єВ4} =
- 1-Д (4/2 - 1; 22/2) = 1 - Д (1, 2) = Я (I1 2).
По таблице приложения 2 в [4] имеем P « 0,594. > Пример 4. Условия примера 2 остаются такими же, за исключением того, что область КП, куда должна попасть MC, представляет собой прямоугольный четырехмерный гиперпараллелепипед й4, центр которого совпадает с центром рассеивания св. Z1, Z2, Z8, Г, а стороны равны четырем соответствующим с. к. о. и параллельны координатным осям.
-2А
7.10. МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
257
Решение. По формуле (7.10.13) для п = 4 получаем
P = Pf(X11 X21 X31 Г)ей4} =
=^)-(?-2*?)-2*^0'830-
Эта вероятность получалась большей, чем в примере 3. Объясняется это тем, что область R^ больше, чем область ?4. Наглядно это можно изобразить для двумерного случая: прямоугольник R2 со сторонами 4o1 и 4а2 больше эллипса B1 с полуосями 2а, и 2а2 (рис. 7.10.4). По этой же причине вероятность P a 0,706 в примере 2 больше вероятности P = 0,594 в примере 3. >
9 Теория вероятностей и ее инженерные приложения
ГЛАВА 8
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИИ
8.1. Математическое ожидание и дисперсия функции
В круге практических, в частности, инженерных, применений теории вероятностей большое место занимают задачи, требующие нахождения числовых характеристик функций с. в. В простейшем случае задача ставится так: на вход технического устройства (ТУ) поступает случайное воздействие X (рис. 8.1.1). ТУ подвергает воздействие X некоторому функциональному преобразованию ср и дает на выходе с. в.
Г = ф(Х). (8.1.1)
Нам известен закон распределения с. в. X (в некоторых случаях — только его числовые характеристики). Требуется найти числовые характеристики с. в. Y9
X2
Ряс, ВЛЛ
Рис 8.1.2
В более сложном случае на вход преобразователя ф подается не одно, а несколько случайных воздействий (X1, X2, Xn), а па выходе снимается несколько случайных величин (F1, F2, Yk) (в общем случае к^n)1 рис. 8.1.2.
Требуется, здая закоп распределения (в некоторых случаях — только числовые характеристики) входной системы (Xi, X2, Xn), найти числовые характеристики выходной системы (Y1, Y2, Yn).
Преобразователем ф может быть не только техническое устройство. Например, в его роли может выступать некоторое производство, входами которого могут быть всякого рода ресурсы: Xi — сырье, X2 — топливо, X3-энергия, X4 — вода, X5 — фондовооруженность и т. п., а выходами — различного рода продукции (F1, F2,..., F4),
8.І. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ ФУНКЦИИ 25Э
Здесь в общем случае могут возникнуть три задачи.
1. Зная закон распределения случайного воздействия X (или системы случайных воздействий (X1, X2,..., Xn)), найти закоп распределения выходной случайной величины Y = Cp(X) (или системы случайных величин Yj = -<t,(XitXt,..., Xn); (/ = 1,..., к)).
Это — задача сравнительно сложная, и ее мы в данной главе касаться не будем (ей будет посвящена глава 9).
2. Зная закон распределения случайного воздействия X (или системы (Xi, X2, Xn)), найти числовые характеристики выхода Y (или системы (F1, F2, Yk))» Оказывается, для того, чтобы их найти, вовсе не обязательно знать закон распределения выхода F (или системы (F1, F2, ..., Yk)).
