Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, для полного описания системы двух нормально распределенных с. в. (X, Y) нужно знать пять параметров: координаты центра рассеивания (тх, ту) и матрицу ковариаций, состоящую из четырех элементов:
\°к kd\ (7.9.16)
I VX V Il
Если случпйпме величины XaY пекоррелированы (гху — 0), то выражение (7.9.1) примет вид:
/(*. у) =-.j- wp
•К |У2ЇЇа/ХР| 2а*
-ШШ, (7.9.17)
где /,(я) —нормальный закоп распределения св. X с параметрами тх, о» и /2 (^)—нормальный закон распределения с в. У с параметрами ту, ау (см. (6.3.1)). Отсюда следует, что если две нормально распределенные с. в. X и Y пекоррелированы, то они и независимы, так как их совместная плотность равна произведению плотностей отдельных с в. Для нормально распределенных с л у ч а й п ы X величин термины «независимость» и «некоррелированность» эквивалентны.
В геометрической интерпретации совместная двумерная нормальная плотность f(x, у) представляет собой холмообразную поверхность (рис. 7.9.1), вершина которой находится над точкой (rnx, ту) плоскости хОу. Аппликата этой вершипы равна
/К ту) - і/[2лохоДЛ-г^]. (7.9.18)
Сечение поверхности f(x, у) плоскостью, параллельной плоскости хОу, представляет собой эллипс, уравнение проекции которого на плоскость хОу имеет вид:
(х — mxflal — 2гху (х — тх) {у — ту)/(ахоу) + (у—ту)2/о2у=а\
(7.9.19)
где a2 = [in (ь2пахау ]/ 1 - гху)}. (- 2) (1 - r%\ Ь - рас-
236 гл. 7. системы случайных величин
fix,у)
Рис 7.9,1
'(рис 7.9.2}, определяемые из условия
tg 2а - 2rXyOxOy/{al - а2,), (7.9.20)
Оси симметрии эллипса называются главными осями рассеивания, сам эллипс — эллипсом рассеивания (эллипсом равной плотности), а центр эллипса — точка [тх, ту) — центром рассеивания.
Рис. 7.9.2
Если координатные оси совпадают с осями симмет* рии эллипса рассеивания, то уравнение эллипса рассей-
стояние плоскости сечения от плоскости хОу (0<b<f(mxj mv)).
Оси симметрии эллипса, центр которого находится в точке (т„ ту), образуют с осью Ox углы а и а+ я/2
7.9. ДВУМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 237
вапия будет иметь простейший («канонический») вид. В соответствии с рис. 7.9.2 для приведения уравнения эллипса к каноническому виду достаточно перенести начало координат в точку (тХ1 т„), а координатные оси повернуть на угол а. В преобразованной системе координат х'О'у' система случайных величин (X', Y') будет выражаться через составляющие исходной системы слу* чайных величин (X1 Y) формулами:
X' — (X — mucosa + (Y — ту)sinaf \ q . у--(X — шх) sin a + (Y — Ttiy) cos a. j I''*'*4'
В новых осях х'О'у' каноническая форма нормального закона системы с. в. (X', Y') имеет вид:
><*'• * - -=?- ехр(- * • Щ- * •(?)')•<7А22)
где Ox и O^ называются главными средними квадрати-* ческими отклонениями,
(о*)2 — о| cos2 а + rxyOxOy sin 2а + aj sin2 ад (<^)2 = ol sin2 а — rxyoxoy sin 2а + aj cos2 а.
При этом
M [X'] - M [Y'] - 0.
Нормальное распределение называется круговым с центром в точке (mXl ту), если случайные величины X и Y некоррелированы (^ = O) и 0, = 0,,-0. В этом случае эллипс рассеивания превращается в круг и случайные величины остаются независимыми при любом выборе системы декартовых координат, т. е. при любом повороте координатных осей. Это облегчает решение многих прикладных инженерных задач.
Найдем вероятность попадания случайной точки (X, У), распределенной по нормальному закону с параметрами тя — ту = 0; ох; оу в эллипс рассеивания Bk, центр которого совпадает с началом координат, а полуоси ах и Oy пропорциональны средним квадратическим отклонениям Ox и Oy {йх = кох\ ау=*коу) и направлены по координатным осям. Уравнение эйлипса Вк будет иметь вид
(7.9.23)
238 гл. 7. системы случайных величин
По общей формуле (7.4.5) находим:
P {(X, Y) є Вк}~ J JЦ/(2пахау)] ехр (- у [4+ 4]]^^-
(?) - 0V J) _
Проведя замену переменных u = z/(V2ox); v=*y/(l/2oy)J мы преобразуем эллипс Bh с полуосями а, = кох и ау_== &ау в кругjCfc с безразмерным радиусом к/1/2 =» а*/(У2оя) = = ау/(У2ау). Следовательно,
P {(X, У) є Bh) = j J <T(u4*2W dv/л. (ck)
Этот интеграл проще найти, перейдя от декартовой системы координат к полярным координатам г, ср:
u = rcos(p; v = rsinq) (0<г< /с/У2; 0<ф<2л). Якобиан J такого преобразования равен:
J — I dw/dr ди/ду _I cos ф — г sin ф ^
"~~ I ди/дг dv/ду | sin ф г cos ф "
Следовательно,
P {(X9 Y)Z= Bk}= Jj г<Г' rfr гіф/я = j 1 e'r2dr2 -
о о
1-е
-A2/2
(7.9.24)
Рассмотрим случайную точку (X1 У), рассеивающуюся вокруг начала координат 0 по круговому нормальному
закону:
TJlx = TfIy
<0;
Рис. 7.9.3
Введем в рассмотрение величину R2 = УХ2 + У2 — расстояние от случайной точки (X, Y) до центра рассеивания (рис. 7.9.3). Найдем ф.р. св. д2: F(r)==P{i?2<r},T. е. ф.р. св. R2 равна вероятности того, что случайная точка (X, Y) попадает внутрь круга Ch с радиусом г (рис. 7.9.3). Эта вероятность определяется по
формуле (7.9.24) при к = г/о:
