Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Не следует думать, что зависимость между случайными величинами может быть только «положительная», когда при увеличении одной другая имеет тенденцию тоже увеличиваться. Например, две случайные величины X — средний балл школьника па выпускных экзаменах и Y — число часов, проведенных им же у телевизора в период подготовки, несомненно, зависимы, но при увеличении одной другая имеет тенденцию уменьшаться.
Существуют и такие виды зависимости случайных величии, когда при увеличении одной другая не проявляет тенденции ни увеличиваться, ни уменьшаться; меняется только ее закон распределения; для пары зависимых случайных величин (X1 У), рассмотренных в примере 6, это именно так.
7.6. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Коварпация и коэффициент корреляции
В качестве числовых характеристик системы двух с. в. (X, Y) обычно рассматриваются начальные и центральные моменты различных порядков.
Начальным моментом порядка fc, s системы двух с. в. (X, Y) называется математическое ожидание произведения Xа на У3:
(Xm = M[XV]. (7.G.1)
Центральным моментом порядка /с, $ системы двух с. в. (X, Y) называется математическое ожи-
0 о
дание произведения X* на У3
(ім-м[?*Н (7-6-2)
о о
где X = X- тх\ Y = Y — ту — центрированные с. в. Для системы дискретных св. (X, Y) получим:
п т
«M = 2 2 x\y)P\v (7.6.3)
i = l j=l
214 ГЛ 7. СИСТЕМЫ СЛУЧЧППЫХ ПСЛЇ1ЧШІ
п т
им = 2 S (*< — ^x)* (»j — "iy)s pij *). ('.о. і)
Для системы непрерывных с. в. (X, Y)
OO
аМ = j I sV/v>» У) d* dlJi (7.6.5)
— 00 OO
— OO
Порядком начального (или центрального) момента называется сумма его индексов к + s.
В инженерных приложениях чаще всего встречаются моменты первого и второго порядков.
Начальные моменты первого порядка:
«1,о - M [X1F0] = M [X] = тх\ а0|1 « M [X0F1] = тц
(7.6.7)
представляют собой математические ожидания с. в. X п У.
Точка (/nx, ту) на плоскости яОу представляет собоіі характеристику положения случайной точки (X, Y): со рассеивание (разброс) происходит вокруг точки (и?х, ть).
Центральные моменты первого порядка, естественно, равны нулю:
^1,0 = M[X1H^m[X1J = O; |і0і1-
-м[1т]-мй«о.
Начальные моменты второго порядка:
a2|0 = M [X2F0] - M [X2] = а2 [Xj; \
а0>2 - M [X0F2] = M [F2] - а2 [F]; (7.6.8)
а1(1 ^M[X1F1] = M[XF]. J
Последний из этих моментов — математическое ожидание произведения двух с. в. X и У, довольно часто встречается в приложениях.
7.6 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ
215
Центральные моменты второго порядка:
Ц2.0 = M I
"00]
= M
0
х\
- Dx;
Щ,2 = M
0 0 "
X0Y2.
= м
' 0
у*.
Им - M
0 0 1
XY\.
Первые два из них представляют собой уже известные нам дисперсии с. в., а третий заслуживает отдельного рассмотрения. Он называется ковариацией (иначе — корреляционным моментом) случайных величин (X, Y); мы будем обозначать его K^:
Кху - M [xy] = M [{x - тх) (Y - ту)]. (7.6.10)
В механической интерпретации, когда распределение вероятностей на плоскости хОу трактуется как распределение единичной массы на этой плоскости, точка (тх, ту) есть не что иное, как центр массы распределения; дисперсии Dx, Dy — моменты инерции распределения масс относительно точки (тх, ту) в направлении осей Ox и Oy. Что касается ковариации (7.6.10), то в механической интерпретации это — не что иное, как центробежный момент инерции распределения масс.
По определению ковариации
Kx,-Kyx, (7.6.11)
т. е. при перемепе индексов местами коварпация не меняется.
Дисперсию с в. можно рассматривать как частный случай ковариации:
-мИ-M[H]-JC«; Dy = M[h] = Kyyi
(7.6.12)
т. е. дисперсия с. в. есть не что иное, как «ковариация ее с самой собой».
Для независимых с. в. ковариация равна нулю; докажем это. Но определению (7.6.10)
Кху = Ih1I = м[ху] = j J (х — ITtx) (у —Wy)J(X1 y)dxdy.
— OO
Для независимых св. доказано, что /(я, У)-/1(2)/2(у),
210
ГЛ 7. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
следовательно,
OO OO
Кху=* j (х— Mx)J1(X) dx- j (y — my)f2(y)dy.
— 00 — OO
Но каждый из полученных интегралов представляет собой первый центральный момент, который равен нулю:
OO
j (х — тх) Z1 (х) dx = |лх [X] = 0;
— OO OO
— 00
Таким образом, ковариация двух независимых с. в. равна нулю.
Ковариация двух с. в. (X1 Y) характеризует ие только степень зависимости случайных величин, но также их рассеивание вокруг точки (тХ1 ту).
Ковариацию Кху часто удобно выражать через начальные моменты низших порядков: Кху = ам — ам • а0,і или
Кху = M [X.Y] - M [X]-M [Y]1 (7.6.13)
(доказательство — в п. 8.2), Полезно запомнить словесную формулировку этой формулы: ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий.
Размерность ковариации Кху равна произведению размерностей с. в. X и У. Чтобы получить безразмерную величину, к тому же характеризующую только зависимость, а не разброс, ковариацию делят на произведение
