Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Вентцель Е.С. -> "Теория вероятностей и ее инженерные приложения" -> 69

Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения: Учебное пособие — М.: Высшая школа, 2000. — 480 c.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка): teriya-veroyatnosti-2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 137 >> Следующая


Ввиду симметричности матрицы (7.8.17) ее часто заполняют только наполовину и представляют в виде:

Il К и Il

К11 К12

К

22

Kn

(7.8.18)

где по главпой диагонали стоят п дисперсий.

Если случайпые величины (X1, X2, ..., Xn) попарно некоррелировапы, т. е. Кц = 0 при і 5^/, то матрица (7.8.18) имеет вид:

її

0
.. о

0
.. о


0

33


Кпп

(7.8.19)

Такая матрица называется диагональной. Часто вместо матрицы ковариации пользуются матрицей коэффициентов корреляции:

гі2 гіз ••• г< 1

'In

23

' 2« 1

(7.8.20)

где

г* = KxJ (OiO,)- KJID1Pi = RJIKJL* (7.8.21):

8*

228

ГЛ. 7. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

По главной диагонали такой матрицы стоят единицы, так как

Ки «Dti ri{«ZVa*oJ- DJDi« і. (7.8.22);

Бели с. в. Хи X21 .,., Xn попарно некоррелированы, т. е. Гц**0 при матрица коэффициентов корреля-

ции принимает вид:

\г»1

1 о о ... о 1 о ... о 1 ... о

¦ . • • •

1

(7.8.23)

Такая матрица называется единичной. Зная закон распределения системы величин (X1, X2, .. ¦ Xn)9 можно найти все ее числовые характеристики, например:

OO OO

mi — J <n) J • • •* хп) ^x1.,, dxn; (7.8,24)

— 00 —00 OO OO

A-J <*) J (*i — W1)V(X11 ,,., ?„) Ar1,.. dx„; (7.8.25)

—00 —00

KU " 1 (n) J (** — т*) (*і —тЛ /(? ,, .j Xn) ^x1.., d*„5

(7,8.26)

—00 —00

но по уже упомянутым выше причинам в нашем распоряжении сравнительно редко бывает совместная плотность распределения системы нескольких с. в. На практике обычно числовые характеристики системы определяются помимо sa к онов распределения, непосредственно по опытным данным. Каждая из них есть математическое ожидание той или другой с. в. и может быть приближенно найдепа как среднее арифметическое наблюденных значений этой с. в. или иным способом !(подробнее об оценках числовых характеристик но опытным данным см. гл. 11).

Помимо упомянутых выше числовых характеристик случайного вектора (X1, X2, Xn)— математических ожиданий ти mtl ..., mA и матрицы ковариации ИЯ«11 — нередко рассматривается условное математическое ожидание одной из CB4 например X1, при условии, что все

7.8, ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА 229

остальные величины X2, ,.., Xn приняли определенные значения: .г2| ..хп:

OO

M [X1 \xt(.,tl Xn] - тх,х.....Хп = Г X1 /*''1",': ****** .

— OO

(7.8.27)

Это условное м. о. называется регрессией X1 на хг, ...» хп. Геометрически регрессия интерпретируется как поверхность в w-мерном пространстве (X1, .,# .... Xn) и называется поверхностью регрессии X1 на х2у ..хя. Регрессия называется линейной, если поверхность регрессии описывается линейной функцией:

п

Mx11x2.....хп= Yi0 + 2 Yii*b. (7.8.28)

где Yio, Yu (t8=8 2, п)' — постоянные коэффициенты. В двумерном случае линия регрессии — прямая; в трехмерном—плоскость, в общем случае (л-мерном)— гиперплоскость в пространстве п измерений.

В п. 7.10 мы покажем, что для системы случайных величин (X1, X2, Xn), имеющей нормальное распределение (а этот случай очень важен для практики), регрессия всегда линейна.

Кроме числовых характеристик, относящихся к одному случайному вектору, в теории вероятностей применяются также числовые характеристики, относящиеся к двум случайным векторам одинаковой размерности пик:

yW~(X(U yd) V(DV Y(2>e(Y(2> Y(2) ХФ)

а я* ^a1 j a2 ,.. .j an а шш ^A1 х a8 a , * #1 a^ )щ

Пусть случайные векторы Х(1> и Х(2> имеют числовые характеристики: математические ожидания Tn^x M2^x «в# .,^п1>; я42), т22\. • *, ^А2)1 и ковариационные матрицы порядков пик:

\кП IMfI

по главным диагоналям которых стоят дисперсии D\l) (і*1, •.и); ?$2) (/ « 1, ..., к). Помимо этих числовых характеристик, относящихся к каждому случайному вектору в отдельности, рассматривается их взаимная ковариационная матрица% элементами которой являются ко-

230

гл. 7. системы случайных величин

вариации

К\}™ - M 1?1?2'] (і - I1 ..., п\ J - I1 ../с). (7.8.29)

Взаимная ковариационная матрица двух случай-пых векторов J /П]л2)|| — прямоугольиая матрица порядка п X к; но даже в том случае, когда п — к я эта матрица квадратная, она совершенно ие обязательно должна быть симметричной относительно главной диагонали.

—> —г

Два случайных вектора X{i) и Х(2) называются ке-8ависимыми% если все составляющие одного из них не зависят ни от одной из составляющих другого.

Для независимых случайных векторов их совместная плотность распределения равна произведению совместных плотностей отдельных векторов:

/1X2)/г(1) т<1>. (2) г(2)\

= ґ (4l\ .... Г W\ .... 42)). (7.8.30)

Векторы Ат(,) и X(2) называются некоррелированными, если все элементы их взаимиой ковариационной матрицы, определяемые по формуле (7.8.29), равны нулю:

_ M [X^Xf] - 0 (* - I1 ,. #1 п; ] - I1 ..., A).

(7.8.31)

Можпо показать, что если случайные векторы независимы, то они и некоррелированы.

7.9. Двумерное нормальное распределение

В инженерных приложениях теории вероятностей ИЗ систем случайных величин чаще всего встречаются no-прерывные системы, имеющие нормальное распределение. О причинах широкой распространенности нормального распределения в случайных явлениях природы мы уже говорили в п. 6.3.
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 137 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed