Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
С. К. О. OxCyI
TXy = KJ(GxOy). (7.6.14)
Величина Тху называется коэффициентом корреляции с. в. X и У; он характеризует степень зависимости этих величин, причем не любой зависимости, а только ли-н е й н о й, проявляющейся в том, что при возрастании одной с. в. другая проявляет тенденцию также возрастать (или убывать). В первом случае гху>0, и говорят, что с. в. X и У связаны положительной корреляцией, во втором rxy< O1 и корреляция отрицательна. Далее (п. 8.3) мы докажем, что для любых двух случайных величин X, У
-Krx^l. (7.6.15)
7.6 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ 217
Найти числовые характеристики системы (X, Y): м. о. ~ тХ1 ту, дисперсии Dx, Dyi с к, о. Gx, оУ} ковариа-
ЦИЮ Кху И Коэффициент КОрреЛЯЦИИ Гху.
Решение. Прежде всего найдем ряды распределения отдельных величин, входящих в систему: суммируя вероятности Pa1 стоящие в первой, второй и третьей строках (7.6.16), получим:
рХ{ = P {X = 1} = 0,1 + 0 + 0,2 - 0,3; рУ2 = P {X = 2} = 0 + 0,3 + 0 = 0,3; ^^^ = 4) = 0^ + 0,3==0,4.
Модуль коэффициента корреляции случайных величин X, Y характеризует степень тесноты линейной зависимости между ними. Если линейной зависимости нет, rxy = 0. Если между случайными величинами существует жесткая функциональная линейная зависимость:
Y = аХ + Ь,
то rxy = + 1 при а > 0 и гху == —1 при а < 0 (это мы также докажем в п. 8.3).
Если ковариация Кху двух с. в. (а значит и их коэффициент корреляции) равна нулю, с. в. X и Y называются некоррелированными; если не равна нулю — коррелированными. Из независимости с. в. следует их некоррелированность; но из некоррелированности с в. (гху = 0) еще не вытекает их независимость. Если rxy = 0, это означает только отсутствие линейной связи между св.; любой другой вид связи может при этом присутствовать.
Пример 1. Матрица распределения системы двух дискретных с в. (X, Y) задана таблицей
218 ГЛ. 7 СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Ряд распределения с. в. X имеет вид X
1
2
4
0,3
0,3
0,4
Ее м. о.
мх - 1 • 0,3 + 2 . 0,3 + 4 . 0,4 - 2,5.
Дисперсию Dx находим через второй начальный момент:
а2 [X] - I2-0,3 + 22-0,3 + 4-0,4 - 7,9; Dx - а2 [Xj -т\ = 7,9 - (2,5)2 » J ,65.
Среднее квадратическое отклонение
Ox = Wx ~ 1,285.
Аналогично находим ряд распределения с. в. F, суммируя вероятности Pa по столбцам табл. (7.6.1С):
pVi - P {Y = 0} - 0,1 + 0,1 = 0,2; ^ = P {Г = 2} - 0,6; Pv3 = P <Г = 5} = 0,2. Ряд распределения св. F имеет вид:
У :
0
2
5
0,2
0,6
0,2
ту = 0-0,2 + 2-0,6 + 5-0,2 - 2,2;
Dy = Ot[Y] -/^ = O2-0,2 + 22-0,6 + 52-0,2-(2,2)2 = 2,56; ау = 1,60.
Находим м. о. произведения с. в. X и Г: MIX-Y]-I-O-O1I + 1-2-0+ 1-5-0,2+ 2-0-0 +
+ 2-2-0,3 + 2•5•O + 4-0-0,1 + 4-2-0,3 + 4•5•O = 4,6.
Ковариацию Кху вычисляем по формуле (7.6.13): = 4,6-2,5 •2,2=-0,90. .
Деля Kx,, па OxOy1 получим коэффициент корреляции:
^ -0,9 Гху ~ 1,285•1,G
- 0,438,
что показывает, что между с. в. X и Y существует отрицательная линейная зависимость, т. е. при увеличении
7(5 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ
219
ox (рис. 7.6.1) реляции с. в. X, P е ш е H и е.
одной из них другая имеет некоторую тенденцию уменьшаться. >
Пример 2. Для системы св., приведенной в примере 2 п. 7.5. распределенной равномерно в квадрате R со стороной, равной а и составляющей угол 45° с осью найти ковариацию и коэффициент кор-У.
Из соображений симметрии распределения, его «центр массы» лежит в начале координат: тх = = ту = 0.
Находим м. о. произведения величин X и У (каждая из которых совпадает со своей центрированной):
Кху = M [°ХУ] = J f xyf(x, у) dx dy.
(R)
Пли, учитывая, что /(х, у)— 1/а2, в квадрате R
Кху = -V \ \ ху dx dy +
(X)
+ j* j* ху dx dy + j J xij di du + j f xy dx dy
(*0
ГДЄ Лі, /?2, Я3, /?4
координат делят (рис. 7.6.1). В
(/?,) х>0, у>0; во втором (Zf2) х<0, у>0\ интегралы по обеим областям равны по модулю и противоположны по знаку; при суммировании опи взаимно уничтожаются. То же относится и к интегралам по и /?4; в первой у < 0, во второй суммирование интегралов
четыре треугольника, на которые оси квадрат R первом из них
-a/V2
областям Rs из них #<0, X > 0, у < 0; сюда
а/vi
-а/VI Рас. 7.6.1
дает нуль. Ot-
Кху = 0; Tx^ = KxJ (oxov) = О, т. е. с. в. X и У некоррелированны. Из примера 5 п. 7.5 мы знаем, что эти величины зависимы; таким образом мы паглядпо убеждаемся, что из некоррелированности еще не вытекает их независимость.
Для коррелированных с. в. характерно, что среднее значение каждой из них зависит от того, какое значение приняла другая. >
220
ГЛ. 7. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИИ
7.7. Условные числовые характеристики системы случайных величин (X1 Y). Регрессия
Условным математическим ожиданием одной из с. в., входящих в систему (X1 Y)1 называется ее м. о., вычисленное при условии, что другая с. в. приняла определенное значение, т. е. найденное на основе условного закона распределения. Для двух дискретных с. в. (X1 Y) условные м. о. вычисляются по формулам:
