Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
га
M [Y IXi] = 7ПУ|Х. = 2 У}Рч}\ч>
T (7.7.1)
M [X I у) = пгМу} = S XiPx.,У},-
где
PxilVj = P{X = xi\Y = у.}
— условные вероятности значений с. в. У и X соответственно при условии, что другая с. в. приняла определенное значение. Для двух непрерывных с. в. X и Y
OO
M [Y\ X] = niy\x = j уІг (у I х) dy;
7 (7.7.2)
M [X I у] = ms\y = J Xf1 (х I у) dx,
— OO
где M*/U), /і(sly) —условные плотности распределения случайных величин Y при X = х и X при Y = і/ соответственно.
Условное математическое ожидание с. в. У при заданном X = х: M[Y\x] — тпу\х называется регрессией Y на х\ аналогично M [X | у] — тЖ|У называется регрессией X на у. Графики этих зависимостей от х и у называются линиями регрессии или «кривыми регрессии» Y на X и X на у соответственно (рис. 7.7.1 и 7.7.2).
Пример 1. Построить линии регрессии У на х и X на і/ для пары св. (X, Y)1 приведенных в примере 1 п. 7.6.
7.7. УСЛОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
221
Решение. По данным матрицы (7.6.10) находим условные ряды распределеиия с. в. Y при X1 = 1, X2 = 2,
0
X
0
Рис. 7.7.1 Рис. 7.7.2
X3 = 4. По формулам (7.7.1) находим: ру ^ =P{F = =0| X = 1} = 0,1/0,3 = 1/3; Z4,^ - P {Y - 2'| І - 1} = 0;
= P = 51 ^ = 1) = 0,2/0,3=2/3. Откуда то,,. -= 0-0,333 + 2-0 + 5-0,6667« 3,333. Аналогично
= P {Г = 0 j X = 2> = 0; P»A»t = P (Г = 21 X = 2} = 0,3/0,3 = 1; ру^ = 0
п
My1X2=O-0 + 2-1 + 5-0=2.
Наконец
Pv1)X3 = P [Y = 01 X = 4} = 0,1/0,4 = 0,25; /^1*3 = 0,75; ^3Ix3 = O
н
теи = 0-0,25 + 2-0,75 + 5-0 - 1,5. Аналогично находим
Px1IaZ1 = ОД/0,2 = 0,5; р t ^91 = 0; PxJVi = 0,5; m»,^ - 1-0,5 + 2-0 + 4-0,5 = 2,5.
Далее
Рх,|і,2 = 0; д,,|„в- 0,3/0,6 = 0,5; Рх3|У2 - 0,5; mxlyt = 1-0 + 2-0,5 + 4-0,5 = 3 и, наконец,
Px1^3 = 0,2/0,2 = 1; рХ2:Уз - рХз1уз = 0
и
тх|Уз= 1-1 + 2-0 + 4-0= 1. Линия регрессии X на у показана на рис. 7.7.3. >
222
ГЛ 7 СИСТЕМА СЛУЧ \ИНЫХ ВЕЛИЧИИ
Для независимых с. в. линии регрессии Y на х и X на у параллельны координатным осям, так как м. о. каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая.
Линии регрессии могут быть параллельны координатным осям и для зависимых с. в., если только м. о. каждой из них не зависит от того, какое значение приняла
D L-1_I___I_і_1__
/ 2 3^U 5yL
Рис. 7.7.3
другая. Например, для двух зависимых случайных величин X и Y из примера 2 п. 7.5 условное м.о. каждой из с. в. равно нулю, независимо от того, какое значение приняла другая; линии регрессии Y на х и X на у совпадают с координатными осями Ox и Oy. Если сместить квадрат R так, чтобы его центр находился в точке (тх, Шу)у то линии регрессии будут параллельными осям координат прямыми х = тх; у = ту.
Так как все моменты — начальные и центральные — любых порядков представляют собой математические ожидания, то можно говорить об условных моментах (условных дисперсиях D [Y | г], D [X | у], условных начальных и центральных моментах любых порядков).
Пример 2. Для системы случайных величин (X, 7), распределепиой с постоянной плотностью в пределах круга с радиусом г и центром в начале координат (пример 6, п. 7.5), найти условные дисперсии D[FJx] и D[Jf | у].
Решение. Условная плотность распределения с. в. Y при Х = х постояппа и равна U(y\x)= const на участке (-УТ2"^; Ir2-j2), т. е. /i (jf Ix)- 1/[2Vr2-*2] при — Vr2 ~ X2 < у < Yr2 - X2 и /2Ы*)=0 вне этого участка. Условная дисперсия D[Y \ х] для равномерного распре-
7 8 ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕИИЯ СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА 223
деления на участке (а, ?) равна (? —а)712, откуда: D [Y JX] = Dy]x = (2 //"^?)7l2 - (г* - *2)/3
(0<*<г). (7.7.3)
При я = г эта дисперсия обращается в нуль, так как значение св. Y становится вполне определенным: У== г. При X = 0 св. Y распределена равномерно на участке (—г, +г) и ее дисперсия DyIx=Q равна (2г)712 = г73, что и следует из формулы (7.7.3) при х = 0.
Аналогично Dvlx определяем условную дисперсию Dxlv:
D [X j у] - Dx\y = (>•* - Л/3 (0 < у < г). > (7.7.4)
7.8. Закон распределения и числовые характеристики гс-мерного случайного вектора
Закон распределения системы п с. в. — гс-мерпого случайного вектора с составляющими X1, X2, ..., Xn:
X = (X1, X2, ..., Xn)
в самом общем случае может быть задан в виде ф. р.
F (xv X21 ..., Xn) = P (X1 < X1, X2 < х2, ..., Xn < Xn} =
- P {И № <*.}}. (7.8.1)
Свойства ф. р. (7.8.1):
1. F(xh x2i ..., Xn) есть неубывающая функция каждого из своих аргументов.
2. Если хотя бы один из аргументов хи хг% ..., Xn обращается в — о©, функция распределения равна нулю.
3. Ф.р. любой подсистемы (подмножества) (X1, X2, ... ..., Xft) системы (X1, X2, ..., ХА, ..., Xn) определится, если положить аргументы, соответствующие остальным случайным величинам XMl, ..., Xn, равным +«>:
Fit2.....»(*., zk)-F{xu xk, +оо.....+оо) (7.8.2)
(нумерация аргументов — в произвольном порядке).
В частности, ф. p. Fk(xh) одной из случайных величин, входящих в систему, получится, если положить в функции F(xu Xn) все аргументы, кроме xk, равными +оо:
