Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Fa(xh) = F{+*>9 +оо, +оо, .... +оо). (7.8.3)
224 ГЛ 7. СИСТЕМА СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
') Так обозначается я-кратный интеграл.
4. Функция F(xu ..., Xn) непрерывна слева по каждому из аргументов.
Доказательства этих свойств проводятся так же, как и для ф.р. двух св. (п. 7.2), и поэтому мы их не приводим.
Если с в. X1, X2, ..., Xn независимы (т. е. закон распределения каждой из них не зависит от того, какие значения приняли другие), то
F (xv х2, ..., хп) = F1 (J1) • F2 (х2)... Fn (хп) = П F1 fa),
(7.8.4)
Для инженерной практики преимущественное значение имеет случай системы непрерывных случайных величин; для такой системы ф.р. F(xu ..., Xn) непрерывна и дифференцируема по каждому из аргументов, а также существует п-п смешанная частная производная dnF(xu ..., хп)/(дхі • дх2... дх„).
Плотностью распределения (или совместной плотностью) системы п непрерывных с. в. (X1, X2, ..., Xn) называется п-я смешанпая частная пронзводпая функции распределения, взятая один раз по каждому аргументу:
d"F (T1, г , . . ., Xn)
/(*!, *2. • - • і Xn) = -r-V2-T1-^- (7'8'5)
' 4 1 J ' Oxx с)х0 .. . (Jxn 4 '
Совместная плотность обладает свойствами:
1) /(X1, *„)>0; (7<86)
OO OO
2) J (") J j(xv хг, . . ., Xn)CtX1-Ch2. . .tfjc,, = 1 *).
— оо —•OO
Доказываются эти свойства так же, как и для двух св. Функция распределения F(xu х2, ..., Xn) выражается через плотность дг-кратным интегралом:
F (X1, х2, ..., Xn) = \ {п) J / (X1, ..., хп) CIx1... Arn. (7.8.7)
7.8 ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА 225
Элементом вероятности для системы (X1, X2, •.., XnJ в точке (#1, X2J .. ., Xn) называется величина
хг, ..., xn)dxidx% •.. dxn, (7.8.8)
приближенно (с точпостью до бесконечно малых высших порядков) равная вероятности попадания в элементарную область и-мерного пространства с размерами dxi • йхг...dxn, примыкающую к точке (xi9 х2, • Xn):
/ • * ** Xn) dx-y і •. dxji a2
« P (X1 є (^1, X1 + (Ur1), ..., Xn <= (хп, хп + dxn)}< (7.8.9)
Вероятность попадания случайной точки (X1, X2, ..., Xn) в произвольную область D и-мерного пространства выражается тг-кратным интегралом по области D:
P {(xv і • и хп) D) =¦ J (n) \f(xit ,. .j Xn) dxt< • .dxn.
(7.8.10)
Чтобы найти п. р. любой подсистемы (X1, X2, •.., Xk)1 входящей в систему (X1, Xft, ..•, Xn) (нумерация произвольна), надо проинтегрировать совместную плотность ]{хІ9 Xn) (п — к) раз по аргументам (sfc+b • ••і Xn)1 относящимся к остальным случайным величинам:
/і,2,.«>Ь (XV Х2> 4 • •I Xh)
oo oo
¦ J* <n~ft> J /(*н {xn)dxk+i„ <dxn> (7,8,11)
—00 —00
В частпости, плотность распределения одной св. Хку входящей в систему, равна
oo oo
/(хц «* •i Xn) dxx « # t dxk-i • ^Sft+l •»• dxn*
—00 —00
(7.8,12)
Условной плотностью распределения любой подсистемы (X1, X2, ..., Xfc), входящей в систему (X1, X2, Xn) '(нумерация произвольная), называется плотность распределения этой подсистемы, вычисленная при условии, что остальные с в. приняли определенные значения: ХА+1 =» ¦¦arjk+i; Xft+a«a:fc+2; •..; Xn-хпч Условная плотность под-
8 Теория вероятностей и ее инженерные приложения
226 ГЛ. 7. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Законы распределения системы п зависимых с в., являющиеся фупкциями многих аргументов, чаще всего неудобны в практическом применении и к тому же для своего определения (хотя бы приближенного) требуют огромпого объема экспериментальных данных. В большинстве инженерных приложений вместо законов распределения (полной, исчерпывающей характеристики системы п с. в.) рассматриваются ее важнейшие числовые характеристики.
1. п математических ожиданий:
TH1 = M [X1]; т2 — M [X2]; ...; тп = M [Xn];
2. п дисперсий:
Dx - D [X1]; Z)2-D [X2]; ...; Z)n-D [Xn];
3. п\п—\) ковариаций:
яЦ-М[ЗД] ЦФІ). (7,8.15)
системы вычисляется по формуле
\Xh + V •••» xn)
(7.8.13)
Плотность распределения системы п с. в. может быть представлена в виде
/(#1, Xn) в /і (xt) • Іг\і(хг\Хі) • Zs112 (X3Ix1, X2)..,
*.-/пц.*,з.....пч(^пЬі, х2, Xn-i), (7.8.14)
где все плотпости, кроме первой, являются условными Л вычисляются при условии, что предыдущие с. в. приняли определенные значения.
Зпая условные п. р. системы св. (X1, ..., Xn), можно найти условные ф. р. этой системы по формулам:
F2U (? I *i) = \ Uw {х21 X1) dx2\
7 (7.8.14')
?
F3|i,2 (? I хъ хг)5=8 J /з|і,2 іхз I xv X2) dx3] . . •
7.8. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА 22?
Снова отметим, что дисперсия с. в. X есть не что иное, как ковариация Ки\
D[Xi] = M[I?]= M[XiXi]=K11 (J = I1 ...,и). (7.8.16)
Ковариации Кц (вместе с дисперсиями D1 — Kti) образуют матрицу ковариации (иначе «ковариационную матрицу»; иногда ее называют «корреляционной матрицей»), т. е. таблицу, состоящую из п строчек и п столбцов:
кп
(7.8.17)
Так как Кц=*К#ч матрица (7.8.17) симметрична относительно главной диагонали. По главной диагопали. матрицы (7.8.17) стоят дисперсии св.: Dt = Ku (і— -1, 2, п).
