Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
p{/?2<r} = F(r) = l-
_ехр{-яг2Х} (г>0).
Откуда
/(г). = F' (г) = 2яХг ехр {-яг2*} (г>0).
Таким образом, с. в. R2 подчипена закону Рэлея с параметром о == 1/(2лА)1/2. Напомним, что в данном примере величина X представляет собой среднее число центров кратеров, находящихся на определенной площади планеты.
Если в точке П поместить начало декартовой системы координат хОу с произвольной ориентацией осей, то точка Б будет иметь координаты (X, У), распределенные по нормальному закону с параметрами тх = ту = = 0; Ox = Oy = O = 1/(2пХ)і/г. >
Пример 4. По небольшой (точечной) цели ведется стрельба снарядами, радиус поражения которых равен гп, т. е. цель поражается, если снаряд разорвался на расстоянии от цели, не превышающем величину гп, в противном случае цель остается непораженной. Рассеивание при стрельбе нормальное круговое, систематические ошибки отсутствуют.
Определить вероятность поражения цели P при п независимых выстрелах.
Решение. Вероятность P будет определяться как вероятность того, что хотя бы один снаряд попадет в
7.10. МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 243
К12 •
A =
fti
^22 •
(7.10,2)
%П2 '
• Кпп
k\j1}— элементы матрицы, обратной по отношению к ковариационной матрице HUl0II системы с в. (X1, X2, ,.., Xn):
ftfe^-^u/A; (7.10.3)
Ay — алгебраическое дополнение элемента Кц матрицы ковариаций.
В силу симметрии ковариационной матрицы (Кц — = Кц), обратная ковариационная матрица также обладает свойством симметрии:
Kij — КП •
Таким образом, для описания нормального закона распределения системы п случайных величин нужно знать следующие величины:
круг СГп с радиусом гп, в центре которого находится цель. Вероятность р того, что один снаряд попадет в круг Crn, будет
Pi = l-exp{-rnV(2o2)}.
Следовательно,
P = I-(I- рг)п - 1 - ехр (- г?п/(2а2)}, >
7.10. Многомерное нормальное распределение
Перейдем к рассмотрению нормального распределения
для системы произвольного числа п с. в.—вектора X = — (X1, X2, Xn) в л-мерном пространстве. Его плотность записывается в виде:
f(xlf ,.., Xn) —
- (2я)п/2уд ехР {- T 2 2 fcbrl) (X1 - т{) (xj - тА
(7.10.1)
где т< — математическое ожидание величины X, (j = 1, 2, ..., п); а А представляет собой определитель ковариационной матрицы HjKyII системы св. (X1, X2, Xn):
244
ГЛ. 7. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
п математических ожиданий: ти m2, т„; п (и+1)/2 элементов ковариационной матрицы (из которых п дисперсий):
*22
с2п
(7.10.3)
Напомним, что по главной диагонали ковариационной матрицы (7.10.3) стоят дисперсии случайных величин Xi 2, п): Ku**D{.
Если нормально распределенные св. (X1, X2, ..., Xn) некоррелированны, то ковариационная матрица превращается в диагональную:
о
D1 0
0
(7.10.4)
В этом случае определитель А будет равен произведению диагональных элементов:
п
а обратная ковариационная матрица также является диагональной:
IiID1 0 ... О \ID*.r..°.
Следовательно, для нормально распределенной системы некоррелированных св. совместная плотность (7.10.1) имеет вид:
(7.10.5)
(VWj/" go,
ЇЛО. МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 245
Мы показали, что нормально распределенная система некоррелированных случайных величин (X1, X2, Xn) представляет собой нормально распределенную систему независимых случайных величин, так как совместная плотность системы (X1, Xn) равна произведению плотностей отдельных величин (X1, Xn), входящих в систему. Таким образом, для нормально распределенной системы п св. из некоррелированности отдельных величин следует их независимость.
Нетрудно доказать (мы этого делать не будем), что любая подсистема случайных величин (X1, X2, Хк), входящая в нормально распределенную систему (Xi, .X2, XA_t, Xft, Xft+1, •.., Xn) (нумерация произвольная), также распределена по нормальному закону, зависящему от следующих параметров: к математических ожиданий: к (к + 1)
mi, тп21 тпк\ -Ц^— элементов ковариационной матрицы, составленной из соответствующих элементов ковариационной матрицы системы (7.10.3):
К
Kn
11
12
К
hh
(7.10.7)
Следовательно, подсистема нормально распределенных случайных величин (X1, X2, Xn) имеет совместную нормальную плотность:
/l,l,...,fc(?lf •a #а) я
- і і ї с»» - «о (*і - Ц (2я)„„ Vv/.
(7.10.8)
ехр
.
і=1 ;=1
где величина A(k) равна определителю ковариационной матрицы (7-10.7) подсистемы (Xlf X2, Хк):
Hh)
'Ih hh
К
hh
элементы матрицы, обратной по отношению к ковариационной матрице \К$ \ (7.10,7).
246
ГЛ. 7. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
По формуле (7.8.13) можно определить условную плотность распределения подсистемы с. в. (Xft+1, ХА+2. ... ..., Xn), вычисляемую при условии, что остальные случайные величины Xi, X2, ..., Xft, входящие в систему, приняли определенные значения: xiy х2} хк:
/к+і, .... n (#ft+l, • • •» Xn \ Xiy . . ., Xh) =
-/(*!, ..•, Xn)Zf1.....к(хи *»), (7.10.9)
