Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Математическое ожидание — не единственная характеристика положения, применяемая в теории вероятностей; иногда применяются и другие: мода и медиана случайной величины.
Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение (то, для которого вероятность Pi или плотность распределения f(x) достигает максимума). Условимся моду случайной величины X обозначать Mx. На рис. 4.1.1 показан многоугольник распределения дискретной с. в. X с рядом распределения
X :
0
1 j 2
3
I 4
0,2
0,4 I 0,25
0,1
I 0,05
для которой Мж = 1. На рис. 4.1.2 показана кривая распределения непрерывной с. в. X; точка, в которой плотность ,/ (х) достигает максимума, и есть мода Mx. Экспериментальные (статистические) аналоги моды: для дискретной с. в. X — то значение, которое в данной серии опытов встречалось чаще всего; для непрерывной с. в.— центр того элементарного интервала, для которого «плот-
4.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
113
ность частоты» (отношение частоты попадания в зі от интервал к его длине) достигает максимума.
Если вероятность пли плотность вероятности достигают максимума не в одной, а в нескольких точках, распределение называется полимодальным (рис. 4.1.3 и
4.1.4). Наличие более чем одной моды часто указывает на разнородность статистического материала, легшего в основу исследования.
Иногда применяется еще одна характеристика положения — медиана случайной величины X1 которую мы обозначим хт. Эта характеристика применяется, как правило, только для непрерывных с. в. Медианой непрерывной случайной величины X называется такое ее значение хт, для которого
Р{Х<хт) - Р{Х>хт} - 1/2,
т. е. одинаково вероятно, окажется ли с. в. X меньше X7n или больше хт. Геометрически медиана — это абсцисса
CC1
ру4 '»I fr! *j
X
X2 X3
Xi+ Х§ Xq
Рис. 4.1.3
0
X
Рис. 4.1.4
той точки на оси Ox (рис. 4.1.5), для которой площади, лежащие слева и справа от нее, одинаковы и равны 1/2 (рис. 4.1.5).
В случае симметричного распределения (имеющего моду) математическое ожидание (если оно существует), мода и медиана совпадают.
114
ГЛ. 4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Пример 1. Найти математическое ожидание и моду для дискретной случайной величины X, имеющей ряд распределения
0
1
2
3
0,1
0,3
0,5
од
(многоугольник распределения показан на рис. 4.1.6).
JPi
fix)
0
X
Рис. 4.1.5
Решение. По формуле (4.1.1) M [X] = тх = 0-0,1 + 1-0,3 + 2-0,5 + 3-0,1 = 1,6.
Мода св. X — ее самое вероятное значение: Mx = = 2. >
Пример 2. Непрерывная с. в. X имеет плотность
f(x) «в (sin х) 12 при X є (0, я)
(рис. 4.1.7). Найти математическое ожидание тж, моду
Mx и медиану хт случайной величины X.
Решение. Исходя из симметрии распределения, находим абсциссу центра массы:
тпх = л/2.
7Ґ/2 Рис 4.1.7
Так как в этой точке f(x) достигает максимума, мода Mx = л/2. Очевидно, медиана хт также равна я/2 (площади по правую и левую стороны от линии, проходящей через точку я/2, равны). >
Пример 3. Непрорывная с. в. X распределена по «закону прямоугольного треугольника» на участке (0, 2) и(рис. 4.1.8):
j(x) = ax при яє=(0, 2).
4.2. МОМЕНТЫ. ДИСПЕРСИЯ
115
Найти коэффициент а, м. о., моду и медиану с. в. X. Решение. Коэффициент а найдем из условия, что
площадь треугольника равна единице: =-^--2»2а]=1,
откуда а = 1/2. Математическое ожидание с. в. X найдем из механической интерпретации: абсцисса центра массы треугольника тх = (2/3) -2 = 4/3« 1,33.
Мода с. в. X, очевидно, есть абсцисса точки, где /(#) достигает максимума, т. е. Mx — 2.
Медиана хт — абсцисса точки, где площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам (рис. 4.1.9), f(x)
Рис. 4.1.8
/Л2sl -
Рис. 4.1.9
т. е. площадь треугольника, опирающегося на отрезок хт (заштрихована дважды на рис 4.1.9), равна 1/2: — X
1 хт 1 —
X —-*m == — == — ,откуда хт = V2 « 1,41.
На рис. 4.1.9 показано взаимное расположение точек тх, хт и Мж в порядке возрастания абсцисс. >
4.2. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение
Кроме характеристик положения, в теории вероятностей употребляется еще ряд числовых характеристик различного назначения; каждая из них характеризует случайную величину с точки зрения тех или иных особенностей ее распределения. Среди* них особое значение имеют моменты — начальные и центральные.
Начальным моментом s-ro порядка случайной величины X называется математическое ожидание 5-й степени этой величины:
*s [X]= M [X8]. (4.2.1)
Для дискретной с. в. X начальный момент 5-го порядка
116
ГЛ. 4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
выражается суммой:
<*.[Х)-2 x\Pii (4.2.2)
i=l
где Xi — значения с в. X, /?, — соответствующие вероятности; для непрерывной — интегралом:
oo
a, [X] = j x'f{x)dx, (4.2.3)
— 00
где f(x) — плотность распределения; для смешанной — суммой плюс интегралом:
а8 [X] - 2 XiPi + f x*F' (х) dx, (4.2.4)
