Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Из определения м. о. и дисперсии следуют некоторые простейшие и достаточно очевидные свойства этих числовых характеристик.
1) Математическое ожидание неслучайной величины с равно самой величине с:
M [с] = с.
(Действительно, если с. в. X имеет только одно значение с с вероятностью 1, M [с] = с Л с).
2) Дисперсия неслучайной величины с равна пулю:
D [с] = 0.
4.2. МОМЕНТЫ. ДИСПЕРСИЯ
423
3) При прибавлении к с. в. X неслучайной величины с к ее м. о. прибавляется та же величина:
M [X + с] - М [X] + с
(это свойство достаточно наглядно следует из механической интерпретации м. о. как центра массы).
4) При прибавлении к с. в. X неслучайной величины с ее дисперсия не меняется:
D[X + с] = D[X].
Действительно, при прибавлении к с. в. X неслучайной величины та же неслучайная величина с прибавляется к ее м. о., а центрированная с. в. не меняется (это же наглядно следует из механической интерпретации дисперсии как момента инерции относительного центра массы).
В частности, из свойства 4 следует, что при центрировании случайной величины ее дисперсия не меняется.
5) При умножении св. X на неслучайную величину с на ту же величину с умножается ее м. о.:
M [сХ] - сМ [X]
(это свойство достаточно наглядно следует из того, что при умножении на с масштаб по оси Ox также множится на с).
6) При умножении с. в. X на неслучайную величину с ее дисперсия множится на с2:
0[сХ] = сЮ[Х].
Действительно, каждое значение св. множится на с,
на то же с множится ее м. о. и каждое значение цент-
о о
рированной с. в. X; ее квадрат X2 множится на с*, на то же с* множится и дисперсия:
D [сХ] - M [с*Х2] - с2М [І2] - c2D [X].
7) Извлекая корень, получим:
о [сХ]« IcIo[X],
т. е. при умножении св. X на неслучайную величину с ее с. к. о. множится на модуль этой неслучайной величины.
124
ГЛ; 4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
В п. 3.3 мы ввели в рассмотрение очень важную и удобную для практических применений св. U — индикатор события. Пусть вероятность события А в данном опыте равна р; вероятность непоявления А равна д = = 1 —р. Ряд распределения индикатора события А:
Найдем важнейшие числовые характеристики индикатора U: м. о., дисперсию и с. к. о. по его ряду распределения; имеем
Дисперсию найдем через второй начальный момент:
а2 [U] = О2-? + 1*.р = р; D [U] = Ct2 [U] - (M [С/])2 -
откуда о [?/] = Ou = Vpg.
Итак, м. о. индикатора события А равно его вероятности; дисперсия равна произведению вероятности его появления на вероятность непоявления. Это полезно запомнить для дальнейшего.
В ряде случаев при определении важпейших числовых характеристик дискретных с. в. может помочь аппарат так называемых производящих фупкций.
Пусть имеется дискретная с. в. X1 принимающая неотрицательные целочисленные значения 0, 1, 2, ..., А, ... с вероятностями Po1 Pi1 рг, ..., Ph, . • Л Ph1=8 P(X = А:}.
Производящей функцией для с. в. X называется функция вида:
где z — произвольный параметр (0 < z < 1).
Коэффициенты при zh в производящей функции равны вероятностям того, что с в. X примет значение А. В случае, когда число возможных значений X конечно {к = 0, 1, ..., Ji)1 выражение (4.2.24) сохраняет силу, так как при к > п все вероятности рк обращаются в нуль. Очевидно, при Z=I
M[U] = 0-д+ !•/> = р.
oo
<p(z)= 2 PkZ",
(4.2.24)
oo
ф(1)- 2 Pa = I.
(4.2.25)
4.2. моменты. ДИСПЕРСИЯ 125
Возьмем первую производную по z от производящей функции:
и положим в ней z«~ 1:
ф'<1)- S*p*t
ft=о
а это есть не чю иное, как ы. о. св. X. Итак, мы пришли к выводу: м. о. неотрицательной целочисленной с в. равно первой производной ее производящей функции (f(z) при Z** I:
M [X] - m « ф' (1). (4.2.26)
Возьмем вторую производную функции ф(я):
<р*(*)- ? k(k-l)phzb-\
А~0
Полагая в ней 2 — 1, получим
*"(!)« S W-к) Ph~ 2 A2Pa- 2 крк. (4.2.27)
А*«0 А—а a=o
Первая из двух сумм в выражении (4.2.27) есть не что иное, как второй начальный момент оса с в. X, вторая — ее м. о. т; откуда получаем выражение второго начального момента:
Ct2[X]-а2«Ф''(1) + ф'(1), (4.2.28)
т. е. второй начальный момент с. е. равен сумме второй производной от производящей функции при 2 — 1 плюс ее м. о.
Аналогично, беря третью производную
oo
ф" (*) - 2 * (* — 1) (к ~ 2) P*zk~*
a=o
и полагая в ней Z = I, получим:
ф'"(1)=а,-3а2 + 2т.
И так далее, что позволяет, в случае надобности, выразить начальные моменты более высокого порядка через моменты более низкого.
126 ГЛ. 4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
л ' I 0,18 I 0,54 I 0,28 I'
Непосредственно из ряда распределения с. в. X получим
ш» - 0 • 0,18 + 1 • 0,54 + 2 - 0,28 - 1,1.
Тот же результат получим, вводя производящую функцию
Ф (z) =0,18 + 0,54* + 0,28z2, дифференцируя ее
ф' (z) = 0,54 + 0,56z
и полагая z = 1:
ГОх=ф'(1)=1,1*).
Обратим внимание на то, что тх «* pt + р2 = 0,4 + 0,7; это не случайно; в дальнейшем (п. 8.3) мы докажем, что м. о. числа появлений события в п независимых опытах, в j-м из которых вероятпость появления события равна р<
