Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
п
(і = 1, ..и), равно 2 Pu т. е. м. о. числа появлений
события в нескольких опытах равно сумме вероятностей его появления в отдельных опытах.
*) В данном случае производящая функция сравнительно мало нам помогла; дальше вам встретятся примеры, где ее введение сильпо облегчает задачу.
Рассмотрим ряд примеров на определение числовых характеристик различных с. в.
Пример 1. В техническом устройстве работают независимо два блока. Вероятность безотказной работы первого блока равна pt = 0,4, второго P2 = OJ. Св. X — число работающих блоков. Найти ее м. о., дисперсию и с. к. о.
Решение. X — дискретная случайная величина с тремя значенияхми: 0, 1 и 2. Вероятности этих значений:
P0 = P(X = 0) = 0,6.0,3 = 0,18; р2 _ р (X - 2} = 0,4-0,7 = 0,28.
Вероятность Pi = P {X = 1} найдем, дополняя до единицы сумму двух других вероятностей:
P1 = 1-(0,18 + 0,28) = 0,54. Ряд распределения с. в. X:
4.2. МОМЕНТЫ. ДИСПЕРСИЯ
127
Дисперсию с. в. X найдем, как и выше, через второй начальный момент:
а2 - О2 • 0,18 + I2 - 0,54 + 22 • 0,28 - 1,66;
= Pi<?i + p2?2; == 1 - Рі\
Яг == 1 — Pz] в гл. 8 мы докажем это в общем виде.)
Извлекая корень из дисперсии, получим
= 1,66 -
-1,21
= 0,45.
0,45 =
0,4 • 0,6 + 0,7 • 0,3 =
---'
А
Пх) = Ъе'т
0
X
0х - у 0,45 - 0,67.
Рис. 4.2.4
Третий центральный момент с. в. X вычисляем непосредственно по формуле
Из = S (Xi-^)3Pi (0—1,1)3.0Д8 +
1 ° + (1- 1,1)3-0,54 + (2 — 1,1)3-0,28 = 0,15948. >
Пример 2. Непрерывная с. в. X распределена по так называемому закону Лапласа (рис. 4.2.4):
1(х)-Ъе-ы.
Найти коэффициент Ь, м. о., дисперсию, с. к. о., асимметрию, эксцесс с. в. X.
Решение. Для нахождения Ь воспользуемся свойством плотности:
OO OO
J /(.г) dx — 2Ь j*е~Чх = 26 = Ij
— оо О
откуда Ъ — 1/2.
Так как функция Ъхе~ы нечетная, то
OO
тх= J (1/2)«-Md*« О,
—оо
Это так же следует из симметрии п. р.
Дисперсия и с. к. о. равпы соответственно:
OO OO
Dx = f (1/2) x?e-Mdx = 2 (1/2) J хЧ-Чх = 2;
— оо О
Ox = VK= V 2,
128 ГЛ. 4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
(X4 = 2 j(l/2)zV-*ur = 24,
о
откуда
гх = -~ — 3 = 3,
Oj
т. е. эксцесс распределения положителен, чего и следо-- . вало ожидать, исходя из остро-
1 вершинности кривой /(#). >
" Пример 3. Смешанная с. в.
X имеет функцию распределения, задапную графически на рис. 4.2.5. Значения 1 и 2 имеют отличные
0,75 0,25
^-2-асГ от НУЛЯ вероятности:
р {.Y = 1) = 0,25; Рис- 4-2-5 р (X = 2) = 0,25.
Прия<1 F(x) = 0; при х > 2 F(»=l.
На участке 1<#<2 /^(д:) изменяется по линейному закону. Найти числовые характеристики с. в. X: M[X] и D[X].
Решение: Проводя прямую через точки с координатами (1; 0,25) и (2; 0,75), получим F(x)=*х/2 - 0,25. По формуле (4.1.4) для м. о. смешанной св., имеем:
M [X] = 1-0,25 + 2-0,25 +
2 2
+ ^xF' (х) dx = 0,25 + 0,5 + j-f- dx = 1,5, і і
аа [X] = 12-0,25 + 22.0,25 +
2 2
+ ^x2F' (х) dx = 0,25 + 1 + dx - ~% і і
D [X] = a2 [X] - (M [X])2 = 11/4 - (3/2)2 = 0,5;
Так как распределение симметрично относительно м. о., то Sk = 0.
Для вычисления эксцесса находим р,4:
ГЛАВА 5
НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ ДЛЯ ПРАКТИКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
5.1. Биномиальное распределение
Говорят, что дискретная с. в. X имеет биномиальное распределение, если ее возможные значения: 0, 1, ,, • •.., J», • •л, а соответствующие вероятности:
pm^P{X = m} = C™p™q«~™% (5.1.1)
где
0<р<1; g = 1 — />; т = О, I1 ..п.
Распределение (5.1.1) зависит от двух параметров пир.
На практике биномиальное распределение возникает при следующих условиях. Пусть производится п независимых опытов*), в каждом из которых событие А (условно можно его назвать «успехом» опыта) появляется с вероятностью р; св. X — число «успехов» при п опытах.
Покажем, что с. в. X имеет биномиальное распределение. Действительно, событие В = {X = т) распадается на ряд вариантов, в каждом из которых «успех» достигается в т опытах, а «неуспех» (событие A) в п — т опытах. Обозначая «успех» знаком +, а «неуспех» знаком —, запишем одип из таких вариантов:
B1 = {++..+--...—}.
траз (п—т) раз
По правилу умножения вероятностей P(O1) = р™(1-р)»-™
или, обозначая q = 1 - р, P (E1) - pmqn-m<
Очевидно, точно такую же вероятность будет иметь любой вариант, в котором т «успехов» и (п — т) «не-
*) Опыты называются независимыми, если вероятность какого-либо исхода каждого из них не зависит от того, какие исхода имели другие опыты.
5 Теория вероятностей и ее инженерные приложения
130 ГЛ. 5. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
успехов»
{+ +---+ "++ — +..-—}-
«+»траз, «—»(л—т)раз
Подсчитаем число таких вариантов. Оно равно С п , т. е. числу способов, какими можно из п опытов выбрать т «успешных». Отсюда, по правилу сложения, складывая вероятности всех Cn вариантов события В « {X « т), получим
т. е. св. X имеет биномиальное распределение. В частности,
P0 = P(X = 0} -Р{----¦¦¦--} = q\
