Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
X
F (х)-Р {X <х) - P {- оо <Х <х) - J f (х) dx. (3.4.4)
— oo
В геометрической интерпретации ф. р. равна площади, ограниченной сверху кривой распределения и лежащей f(x) левее точки X (на
рис. 3.4.6 эта площадь заштрихована). - Укажем осповные свой-
3.4. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
99
Выясним размерности функции распределения F(x) и плотности j(x). Функция распределения
F(x) = Р{Х<х},
как всякая вероятность, размерности не имеет. Размерность плотности распределения, как следует из формулы (3.4.1), обратна размерности с. в. X.
В схеме непрерывных случайных величин можно вывести аналоги формулы полной вероятности и формулы Бейеса, знакомых нам по схеме событий.
Пусть вероятность какого-то события А зависит от того, какое значение х приняла непрерывная с. в. X с плотностью f(x).
Сделаем гипотезу, состоящую в том, что с. в. X приняла значение, лежащее на элементарном участке dx, примыкающем к точке х (рис. 3.4.4). В пределе при dx -** 0 это условие превращается в X = х.
Обозначим Р(А\х) условную вероятность события А при условии X = х. Замепяя в формуле полной вероятности (2.5.2) вероятность гипотезы элементом вероятности, а сумму — интегралом, получим полную вероятность события А:
oo
р (А) = J P (A J х) / (х) dx. (3.4.7)
»00
Формула (3.4.7) называется интегральной формулой полной вероятности.
Соответствующий аналог в схеме непрерывных случайных величин имеет и формула Бейеса. Пусть до опыта св. X имела плотность распределения f(x). Произведен опыт, в результате которого появилось событие Л. Условную вероятность события А при Х = х обозначим P (А I х). Найдем условпую плотность распределения с в. X при условии, что появилось событие А; обозначим ее )А (х). Заменяя в формуле Бейеса (2.6.3) вероятности гипотез элементом вероятности J(x)dx, сумму — интегралом, получим:
їл(х) = f (х)Р(А\x)j] P(A\x)f(х)dxt (3.4.8)
где в знаменателе стоит не что иное, как полная вероятность события А (см. формулу (3.4.7)):
П(х)-П*)Р (А\х)/Р (А). (3,4.9)
4*
100
ГЛ. 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Формулу (3.4.9) будем называть интегральной формулой Бейеса.
Рассмотрим ряд примеров, связанных с распределениями непрерывных случайных величин.
Пример 1. Функция распределения непрерывной с. в. X задана выражением:
О при х<0, F(x) = ах* при 0 < ^Cl1 (3.4.10)
„ 1 при X > 1
(рис 3.4.7). 1) Найти коэффициент а; 2) найти плотность распределения )(х) св. X и построить ее график;
fix)
Рис 3.4.7
0 0.05 0,5 1
Рис. 3.4.8
X
3) найти вероятность того, что св. X в результате опыта примет значение между 0,25 и 0,5.
Решение. 1) Так как функция F(х) непрерывна, то F(I)= 1, т. е. orjie-a—19 откуда а — 1.
2) Плотность распределения f(x) «F' (х) выражается формулой:
0 при #<0, f(x) — - 2х при 0<Cr< I1 k 0 при х>1
или, короче:
f(x) — 2x при 0<х<1.
В дальнейшем мы будем записывать выражение плотности распределения только на участках, где она отлична от нуля, подразумевая, что повсюду вне этих участков она равна нулю.
График плотности (кривая распределения) дан на рис. 3.4.8.
3) Можно было бы вычислить вероятность попадания с. в. X на участок (0,25; 0,5) по формуле (3.4.3), но мы этого делать не будем; воспользуемся тем, что нам уже известна ф. p. F(x) = ах2 ¦* .г2, и вычислим ее приращение
3.4. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
101
на участке (0,25; 0,5):
P {0,25 < X < 0,5} = F (0,5) - F (0,25) = 0,53 - 0,252 -
-0,1875. W
Пример 2. Плотность распределения f(x) св. X задана формулой:
Kx) = CLe-0* (при х>0) (3.4.11)
(а — положительный коэффициент)
Это — так называемое показательное распределение, которое не раз встретится нам в дальнейшем.
a\f(x) = ae ах
1) Построить кривую распределения; 2) найти и построить функцию распределения с. в. Х\ 3) найти вероятность того, что с в. X примет значение, лежащее между 1 и 2.
Решение. 1) Кривая распределения с. в. X показана на рис 3.4.9.
2) По формуле (3.4.4)
x
F(X)= j" 1(x)dx,
— 00
X
При х<0 /(^c) = O, значит Jf(x)dx = 0. При х>0
—oo
ев 0 ж
F{x)= J f(x) dx = J f(x) dx + j* f(x) dx. Первый интеграл
•—oo —oo о
X
равен нулю; второй F(x) = j* ae~axdx = 1 — e~ax. Итак,
о
ф. р. случайной величины X, имеющей показательное распределение (3.4.11), имеет вид:
*<*>-l °« (3.4.12)
v ' Il — е~ах при я>0 J 4 '
График функции (3.4.12) показан на рис 3.4.10.
102
ГЛ. 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
3) Вероятность попадапия с. в. X па участок (1, 2) вычислим как приращение ф. р. на этом участке:
p{1<X<2} = F(2)-F(1) =
= (1 — е~2а) — (1 — е-а) = е~а — е~2а.
Например, при а = 1 получим е~* — е~2 « 0,3679 — -0,1353 = 0,2326.^
Пример 3. Непрерывная с. в. X имеет плотность
j (х) = a cos X при —я/2<я<л/2.
1) Найти коэффициент а; 2) построить кривую распределения с. в. X; 3) найти вероятность попадания с. в.
-F(X) = O7OCQSX
Tt 12 X
-7Ґ/2
Рис 3.4.11
