Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
4 (H)
где сумма распространяется на все значения з<, обладающие ненулевыми вероятностями, а интеграл — на все участки, где функция распределения непрерывна (формула (4.1.4) для м. о. смешанной с. в.).
Выражения (4.2.2) и (4.2.3) и их обобщение (4.2.4) мы здесь записали без специального доказательства, счи-. тая их естественными; сомневающиеся могут найти вывод выражения для м. о. любой функции случайной величины в п. 8.1.
Ранее введенная характеристика положения — математическое ожидание с. в.^ есть ие что иное, как ее первый начальный момент
тх - M [X] = Ct1 [XJ. (4.2.5)
Перед тем как дать определение центральных моментов, введем новое понятие «центрированной случайной величины». Центрированной случайной величиной называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания:
Х = Х-тх. (4.2.6}
Условимся отличать центрированную с. в. значком 0 наверху. Нетрудно убедиться, что м. о. центрированной с. в. равно нулю:
м[х]-М[Х-ш,]-
п п п
= 2 (*i — mx) Pi = 2 хгРг — ™*2 Pi = 0;
аналогично и для непрерывной и для смешанной с. в.
4.2. МОМЕНТЫ. ДИСПЕРСИЯ 117
Центрирование случайной величины, очевидно, равносильно переносу начала отсчета в точку тх (центр распределения).
Моменты центрированной случайной величины называются центральными моментами. Они аналогичны моментам относительно центра массы в механике.
Центральным моментом порядка s с. в. X называется м. о. S-U степени центрированной с. в.:
|ie [X) - M [х8] = М[(Х-mxyi (4.2.7)
Для дискретной с. в. центральный момент выражается суммой:
п
И* = 2 to-MxYРй (4.2.8)
i=i
для непрерывной — интегралом:
oo
I*. - J (x-mxyf(x)dx; (4.2.9)
— oo
для смешанной
!*• - 2 {хі - тху pi + J (X - тху F' (х) dx.
* (H)
В дальнейшем, в тех случаях, когда не возникает сомнений, о какой с. в. идет речь, мы будем для краткости вместо а8 [X] и [X8 [X] писать просто а8 и \ia.
Очевидно, для любой с. в, X центральный момент 1-го порядка равен нулю:
(a1 - M [к] = M [X - mx] - 0. (4.2.10)
Между центральными и начальными моментами существует связь: одни выражаются через другие. Выведем соответствующие формулы для дискретной случайной величины (для непрерывных вывод будет аналогичным при замене Xi на X1 р{ на f(x)dx, сумм на интегралы). Второй центральный момент:
і = 1
п п п
. = 2 х\рх — 2/71*2 XiPi + mlJj Pi =
118 ГЛ. 4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Аналогично, пользуясь формулой для куба разности, найдем:
(? = аз — 3a2tfix + 2т%.
Точно таким же способом могут быть получены выражения для [X4, М* (мы на этом не будем останавливаться). Итак, центральные моменты выражаются через начальные формулами:
jit = 0; IA2 = K2-W2; Цз = «з — Зта2 + 2т\ ... (4.2H)
Особое значение для практики имеет второй центральный момент (Ji2. Он называется дисперсией с. в. Ввиду крайней важности этой характеристики среди других, введем для нее специальное обозначение D[X], или кратко Dx:
VbIX)-D[X]-Dx.
Согласно определению центрального момента:
D[X] = Dx = M [Ь] - M [(X- тх)% (4.2.12)
т. е. дисперсия случайной величины есть математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины.
Для непосредственного вычисления дисперсии служат формулы
Dx - D [X] - S (*i - ™*)2 Pi (4.2.13)
1=1
(для дискретной с в.);
OO
Dx - D [X] = J (ж - mxf f (х) dx (4.2.14)
—оо
(для непрерывной св.)
и, наконец,
Dx = D[I] = S(X1 -го*)2 pi+ f (X-Tnx)2F' (x)dx
* (H)
(4.2.15)
(для смешанной с. в.);
сумма распространяется на все значения хи где функция распределения F(x) терпит разрыв, а интеграл — на все участки, где она непрерывна)
4.2. МОМЕНТЫ. ДИСПЕРСИЯ
119
На практике часто бывает проще вычислить второй начальный момент, чем дисперсию; тогда пользуются выражением последней через а2 (вторая из формул
т. е. дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию ее квадрата минус квадрат математического ожидания. Эту формулировку полезно запомнить.
При вычислении дисперсии по формуле (4.2.17) часто бывает удобно произвести предварительно «грубое центрирование» с. в. X1 для чего перенести начало отсчета в какое-либо круглое значение аргумента, поближе к математическому ожиданию wx.
Дисперсия с. в. есть характеристика рассеивания, разбросанности св. около ее математического ожидания. Само слово «дисперсия» означает «рассеивание».
Если обратиться к механической интерпретации распределения, то дисперсия есть не что иное, как момент инерции распределения масс относительно центра масс (математического ожидания).
Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно; для наглядности в качестве характеристики рассеивания удобнее пользоваться числом, размерность которого совпадает с размерностью с. в. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называется средним квадра-тическим отклонением (иначе «стандартом» или «стандартным отклонением») случайной величины. Будем обозначать его о [X] (или о*):
