Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Вентцель Е.С. -> "Теория вероятностей и ее инженерные приложения" -> 42

Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения: Учебное пособие — М.: Высшая школа, 2000. — 480 c.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка): teriya-veroyatnosti-2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 137 >> Следующая


праэ

что также вытекает из формулы (5.1.1), учитывая, что

Равным образом формула (5.1.1) справедлива и для Рп Aр{+ + + ;-• + +> - Рп A Оп.

праэ

На практике часто приходится вычислять вероятности «не менее т успехов в п опытах»; будем их обозначать RmI

R7n = P {л> т} =Р {Х=т}+Р {Х=т+1} + ... + P {Х=п} или

Rm- S ApW. (5.1.2)

Иногда бывает удобнее вычислять Rm через вероятность противоположного события:

Rm = P {X > m} - 1 - P {X < w},

т. е,

<VflT4. (5.1,3)

Какой из формул (5.1.2), (5.1.3) пользоваться, зависит от TOrO1 в какой иа них сумма содержит мепьше членов.

5.І. БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 131

5*

Найдем важнейшие числовые характеристики с. в. X, распределенной по биномиальному закону. Для этого напишем ее производящую функцию:

п п

ф(г)= 2 Pmzm= 2 CpY-^; (5.1.4)

m=o m—o

но мы знаем, что именно так выглядит п-я степень бинома

ф(*)-(? + /«)в (5.1.5)

(отсюда и термин «биномиальное распределение»).

Пользуясь производящей функцией, найдем числовые характеристики с. в. X: м. о. и дисперсию. Дифференцируя (5.1.5) по z, имеем:

ф'(*)- n(q + pz)*-fp.

Полагая здесь z — 1, получим

ф'(1)= /г(д + р)п-4 • р = п • 1п-! • р = пр.

Итак, математическое ожидание с. в. X, распределенной по биномиальному закону с параметрами /гир, равно

mx = пр. (5.1.6)'

Заметим, что получить этот результат непосредственно из ряда распределения без производящей функции было бы несравненно труднее.

Аналогично находим второй начальный момент по формуле (4.2.28):

а2 = qp" {I)+тх.

Имеем

ф" (z) = п(п - 1) (q + pz)»-y; Ф" (1) - п(п - 1)р2.

Второй начальный момент

Ct2 = ф" (1)+тх = п(п-і)рг + пр. (5.1.7)

Дисперсию св. X найдем, вычитая из (5.1.7) m? = и2р2: Dx = п (п — 1)р2 + пр — пгрг = п2рг — прг + пр — пгрг =

= пр — npz = npq.

Таким образом, дисперсия с. в. X, имеющей биномиальное распределение с параметрами и, р, равна

Dx = npq (g = l-p). (5.1.8)

132 ГЛ. 5. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Извлекая квадратный корень из дисперсии, получим с. к. о.: _ _

0х = yz>x = Гпрд. (5.1.9)

Итак, для с. в. X, распределенной по биномиальному

закону с параметрами п, ру _

тх = пр, Dx = npq, ox = l/npq. (5.1.10)

Эти выражения полезно запомнить.

Пример 1. Передается п = 5 сообщений по каналу связи. Каждое сообщение с вероятностью р = 0,3 независимо от других искажается. Случайная величина X — число искаженных сообщений. Построить ее ряд распределения. Найти ее м. о., дисперсию и с. к. о. непосредственно по ряду распределения и сравнить с теми, которые дают формулы (5.1.10). Найти вероятность того, что будет искажено не менее двух сообщений.

Решение, св. X —число искаженных сообщений — распределена по биномиальному закону (под «опытом» разумеется передача сообщения, а под «успехом» — его искажение).

По формуле (5.1.1) находим:

P0 - g5 = 0,75 = 0,16807;

P1 = Cl-p-q* = 5-0,3-0,74- 0,36015;

P2 = CIpY = |^-0,32.0,73 = 0,30870;

P3 = Сіру = 0,13230;

Pa = С\Р*<1 = 0,02835; Рь = ръ = 0,00243.

Или, приближенно, с точностью до 0,001:

P0 = 0,168; P1-0,360; P2 = 0,309; P3 = 0,133; P4 - 0,028; P5 = 0,002

(значение P3 округлено в большую сторону, чтобы сумма всех вероятностей Рт была не 0,999, а ровно 1). Приближенно ряд распределения будет иметь вид:

1 I 2
3

0,360 I 0,309
0,133

I 4 I 5 I

10,028 10,002 |-

Пользуясь приближенным рядом распределения, находим м. о. случайной величины X: »1, = 0 0,168+1 0,360 + 2 - 0,309 + 3 0,133 +

+ 4 • 0,028 + 5 • 0,002 - 1,499.

5.1. БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 133

Первая из формул (5.1.10) дает для тх более точное значение:

Tnx = 5 0,3 = 1,5.

Имея в виду возможность ошибок, хоть и незначительных, дисперсию Dx вычисляем, пользуясь не приближенными, а точными значениями А». Второй начальный момент

а2 = О2 • 0,16807 + I2 • 0,3G015 + 22 • 0,30870 +

+ З2 • 0,13230 + 42 - 0,02835 + 52 • 0,00243 - 3,30.

Вычитая из OL1 точное зпачение пг% = 2,25, получим Dx = 1,05, что совпадает с результатом, даваемым второй формулой (5.1.10):

Ox- УЦ)5 » 1,03.

Найдем вероятность R2 того, что будет искажено не менее двух сообщений:

Я2 = Р{Х>2} = 1-Р{Х<2} = 1- (P0 + P1) «0,472. >

Пример 2. Игральная кость бросается четыре раза. Найти вероятности того, что шестерка появится а) ровно один раз; б) хотя бы один раз.

Решение: св. X — число появлений шестерки — имеет биномиальное распределение с параметрами п = = 4; р = 1/6.

а) P {X - 1} - С\р (1 - р)3 = 4-(1/6) (5/6)3 ж 0,386.

б) Вероятность Ях = P {X > 1} = 1 - P (X < 1} = 1 -- P0= 1 - (5/6)* « 1 - 0,483 = 0,517. \v

В ряде задач практики приходится иметь дело не с биномиальным распределением, а с его обобщением на случай, когда вероятность «успеха» в п независимых опытах не постоянна, а меняется от опыта к опыту: в 1-м опыте она равна p. (? = 1, 2, ..., п). Будем называть это распределение обобщенным биномиальным.

Производящая функция с. в. X, распределенной по обобщенному биномиальшшу закону, имеет вид:
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 137 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed