Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Найти и построить функцию распределения F1 (х) случайной величины Z:
!Zx при x<zx\ aV при z1<x<z2\ . (3.5.1)
Z2 при x>z2 Решение. Случайная величина Z — смешанная, на участке (zlt Z2) ее функция распределения непрерывна
F2(X)
1
Po
F(X)
Л*
і
і
і
і*
Рис. 3.5.3
Рис. 3.5.4
и вероятность каждого значения равна нулю: крайние жо значения Z1 и Z2 имеют отличные от нуля вероятности:
P1-P(Z- Z1) - P{aV<Zl) - Р{У<Ц] -
Между Z1 и Z2 случайная величина Z равна aV и ее функция распределения
F1 (х) - P {Kx) - P [aV <х) = p{F<-f) = F9(^y
График функции Fx (х) показан на рис. 3.5.4. > В дальнейшем изложении мы встретимся с рядом других примеров смешанных случайных величин.
глава 4
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
4.1. Роль и назначения числовых характеристик. Математическое ожидание случайной величины
Выше мы познакомились с рядом полных, исчерпывающих характеристик случайных величин — а именно законов распределения. Каждый закон распределения исчерпывающим образом описывает распределение вероятностей и дает возможность вычислять вероятности любых событий, связанных со случайной величиной. Универсальным видом закона распределения, пригодным для любой случайной величины — дискретной, непрерывной или смешанной, является функция распределения
F(x) = P{X<x}.
Кроме этого универсального, существуют еще и частные виды законов распределения: ряд распределения (только для дискретных случайных величин) Pi = = p (X = Xi}, і = 1, ..., л, ... и плотность распределения f(x) = F'(x) (только для непрерывных случайных величин) .
Каждый закон распределения представляет собой некоторую функцию, указание которой полностью описывает случайную величину с вероятностной точки зрения.
Однако во многих вопросах приктики нет надобности в таком полном описании; зачастую достаточно бывает указать только отдельные числовые параметры, характеризующие существенные черты распределения; папример, какое-то среднее, вокруг которого разбросаны значения случайной величины; какое-то число, характеризующее величину этого разброса (так сказать, «степень случайности» случайной величины), и т. п. Пользуясь
108
ГЛ. 4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
такими характеристиками, мы хотим существенные особенности случайной величины охарактеризовать сжато и лаконично, с помощью небольшого набора чисел. Эти числа, призванные выразить в сжатой форме наиболее существенные черты распределения, называются числовыми характеристиками случайной величины.
В теории вероятностей числовые характеристики играют огромную роль. С их помощью существенно облегчается решение многих задач (многочисленные примеры мы увидим в дальнейшем). Часто удается решить задачу до конца, вовсе оставляя в стороне законы распределения и оперируя одними числовыми характеристиками. Например, когда в задаче фигурирует большое количество случайных величин, каждая из которых оказывает известное влияние на численный результат опыта, сравнимое с влиянием каждой из остальных, то закон распределения этого результата зачастую практически не зависит от законов распределения отдельных случайных величин (возникает так называемый «нормальный закон», которому в дальнейшем будет уделено много внимания). В таких случаях для решения задачи, связанной с конечным результатом опыта, нет надобности в знании законов распределения отдельных случайных величин: достаточно знать их числовые характеристики.
Не преувеличивая, можно сказать, что умение применять теорию вероятностей для решения практических задач в значительной мере определяется искусством пользоваться числовыми характеристиками случайных величин, оставляя в стороне законы распределения.
Среди числовых характеристик случайных величин прежде всего рассмотрим характеристики положения, фиксирующие положение случайной величины на числовой оси, т. е. некоторое среднее, ориентировочное значение с. в., около которого группируются ее возможные значения.
Среднее значение с. в. является как бы ее «представителем» и заменяет ее при грубых, ориентировочных расчетах. Когда мы говорим «средняя дневная температура июля в данпой местности равна 20°С» или «средняя точка попадания смещена относительно цели на 2 м вправо», мы этим указываем определенную числовую характеристику с в., описывающую ее положение на числовой осид т. е, характеристику положения.
4.І. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
109
Из характеристик положения в теории вероятностей наибольшую роль играет математическое ожидание, которое иногда называют просто средним значением случайной величины.
Подойдем к понятию математического ожидания, исходя из механической интерпретации распределения дискретной с. в. Пусть единичная масса распределена между точками оси абсцисс хи х2, ..., причем материальная точка Xi имеет массу р{ (Ї — 1, 2, ..п).
Нам требуется выбрать одну точку на оси абсцисс, характеризующую положение всей системы материальных точек, с учетом их масс. Естественно в качестве такой точки взять центр массы системы материальных точек. Обозначим абсциссу центра массы m f X]. Имеем
