Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Вентцель Е.С. -> "Теория вероятностей и ее инженерные приложения" -> 43

Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения: Учебное пособие — М.: Высшая школа, 2000. — 480 c.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка): teriya-veroyatnosti-2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 137 >> Следующая


ФІ*1-{їі + Л«1 + ft*),. .(g« + PnZl !(5.1.11)

434 ГЛ. 5. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

или, короче,

Ф 00 = П (<?i+ Pi*), (5-1-12)

1=1

где qt = 1 - р{.

Нетрудно убедиться, что, перемножая биномы (5.1.12) и приводя подобные члены с одинаковыми степенями Z, мы получим

Ф(*)= S PmZ™, (5.1.13)

где Рт — сумма всех возможных произведений, в которые входят т букв р{ с разными индексами и (п — т) букв q{ с разными индексами. Но точно по такому же алгоритму составляются и коэффициенты при zm в разложении производящей функции (5.1.12) по степеням z.

При вычислении вероятностей Рт в обобщенном биномиальном распределении часто бывает удобнее не перебирать все возможные комбинации произведений, а перемножать биномы производящей функции.

Важнейшие числовые характеристики с. в. X, имеющей обобщенное биномиальное распределение, равны:

п п

тх — S Pi\ Dx « 2 Piffi- (5.1.14)

i=l i=l

Формулы (5.1.14) можно было бы вывести, исходя из производящей функции (5.1.12), по в дальнейшем (п. 8.3) мы получим их гораздо более простым путем.

Пример 3. По каналу связи передаются четыре сообщения. Каждое из пих, независимо от других, может быть искажено. Первое сообщение искажается с вероятностью Pt = 0,1, второе — с вероятностью р2 = 0,2, третье — с вероятностью рз = 0,3, четвертое — с вероятностью р4 = 0,4, св. X — число искаженных сообщений. Пользуясь производящей функцией, построить ряд распределения с. в. X. Найти вероятность того, что будет искажено: а) хотя бы одно сообщение, б) не менее двух сообщений. Найти — непосредственно и по формулам (5.1.14) — ее числовые характеристики: тх, Dx и о*.

Решение. Производящая функция:

Ф (*) = (?i + Pi*) (g2 + р2з) (?з + Psz) (g4 + pa)

- (0,9 + 0,Iz) (0,8 + 0,2z) (0,7 + 0,3z) (0,6 + 0,4z) -- 0,3024 + 0,4404z + 0,2144z2 + 0,0404z3 + 0,0024«4,

5.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА 135

Ряд распределения с. в. X имеет вид:

о і 1
2
3
4

0,3024 I 0,4404
0,2144
0,0404
0,0024

тх = 0 • 0,3024 + 1 - 0,4404 + 2 • 0,2144 + 3 • 0,0404 +

+ 4 • 0,0024 - 1,000.

Тот же результат даст первая формула (5.1.14):

Tnx = 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4=1.

Дисперсию вычислим не через второй центральный момент, а непосредственно:

Dx = (O- I)2 - 0,3024 + (1 - I)2 . 0,4404 +

+ (2 — I)2 • 0,2144 + (3 — I)2 • 0,0404 +

+ (4-I)2 0,0024 = 0,7.

Тот же результат получим по второй формуле (5.1.14):

Dx = 0,9 - 0,1 + 0,8 - 0,2 + 0,7 • 0,3 + 0,6 - 0,4 = 0,7. Извлекая корепь из Dx, получим

Gx = уо/7 » 0,837.

Вероятпость того, что будет искажено хотя бы одно сообщение и не менее двух сообщений:

A1 - 1 - P0 = 0,6976; R2 = 1 - (P0 + Л) = 0,2572. > 5.2. Распределение Пуассона

Говорят, что с. в. X имеет распределение Пуассона, если ее возможпые значепия: 0, 1, 2, ..., m, ... (бесконечное, но счетное множество значений), а соответствующие вероятности выражаются формулой

-ТП

Рт = 1гіе~а (и-0,1,2, ...). (5.2.1)

Распределение Пуассона играет большую роль в практическом применении теории вероятностей: многие физические явления приводят именно к такому распределению вероятностей.

Закон Пуассона (5.2.1) зависит от одного параметра а, смысл которого в следующем: од является одновре-

136 ГЛ. 5. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

меино математическим ожиданием и дисперсией св. X, распределенной по закону Пуассона. Докажем это.

Воспользуемся для этого производящей функцией ф (z) случайной величины X:

Сумма в последнем выражении есть не что иное, как еа\ поэтому

Ф (z) = е~а• еаг = еа{г~*\ (5.2.2)

Чтобы найти м. о. величины X, продифференцируем производящую функцию (5.2.2) по z:

ф'(г) = деа(*-!>

и положим в ней z = l; получим тх = я. Дифференцируя второй раз, найдем

V"(z) = aV<*-l); ф"(1) = а2. (5.2.3)

Найдем второй начальный момент:

а2 = ф" (1)+тж = а2 + а.

Дисперсию с в. X выразим через <х2 и тх: Dx = a2 —ml = а2 + а —а2 = а.

Итак, параметр а пуассоновского распределения равен одновременно математическому ожиданию и дисперсии св. X, имеющей это распределение. Найдем с.кл).:

Сх = УЕГх = й. (5.2.4);

Коэффициент вариации для св. X, распределенной по закону Пуассона, равен

V = OJmx = У а/а = 1/Ya (5.2.5);

и стремится к нулю при увеличении а.

Многоугольники распределения для св. X, распределенной по закону Пуассона с параметрами а = 0,5; а = = 1,0; a = 2; а = 3,5 показаны на рис 5.2.1.

Рассмотрим условия, при которых возникает пуассо-новское распределение.

Прежде всего покажем, что оно является предельным для биномиального, когда число опытов п неограниченно увеличивается (п «>) и одновременно

5.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА

137

параметр р (вероятность «успеха» в одном опыте) неограниченно уменьшается (р-*0), но так, что их произведение пр сохраняется в пределе постоянным и равным а:

Hm пр = а.

п-»оо

Из предыдущего пункта мы знаем, что м. о. случайной величины X, распределенной по биномиальному закону с параметрами пир, равно пр. Мы обозначили

пр = а. Для случайной величины X, имеющей биномиальное распределение с параметрами п и а/п,
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 137 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed