Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
ft*)(0--^(я-1 ДО (<>O)1
t
Gw (t) - j" XP (и - I1 Xt) dt = 1 - R (л - 1, Xf) (* > 0),
(9.5.18)
тп
где a) = ake~a/k\; Я (иг, а) = 2 ^(*, в).
В соответствии с формулами (9.5.18) можно доказать следующие свойства функций Р(к, а) и R(Ki1 а):
OO
d-*SL± = P(klay, R(kl(i) = §P(k,a)da;
а
а оо
1 - R (к, a) = j P (к, a) da; JP(A:, a) da = R (оо, а) = 1; о о
-^A(Jr1 а) - P(A-I1 «)_ P(Jr1 в)(А>0).
(9.5.19)
,Числовые характеристики с. в. Т(п) распределенной по закону Эрланга п-го порядка, равны:
М[Г(Я)]-?; D[r(n)] = ^; о[Т(п))=?±. (9.5.20)
Закон Эрланга и-го порядка тесно связан со стационарным пуассоновским потоком с интенсивностью X. Случайная величина T^)1 распределенная по этому закопу,
т(п)
9.5. ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 369
В следующей главе будет доказано, что при увеличении п закон Эрланга тг-го порядка неограниченно приближается к нормальному.
Определенным «неудобством» при применении закона Эрланга я-го порядка является увеличение м. о. и дисперсии св. Т(П) с увеличением п (см. (9.5.20)). Поэтому
в инженерных приложениях часто используют нормированный закон Эрланга я - г о порядка, по которому распределена св. Т{п):
Го-Го/я. (9.5.21)
Применяя формулу (9.1.10) для п. р. линейной функции с. в., получим:
Bw (0 = ngw (nt) - {n-i)\ е Обозначим Kn = пК, тогда
(t>0).
ftn>(0--
е"^1 = KnP (п-1, Kt)\
G(n) (t) = j?(n) (t) dt = 1 - R {n -11 Xnt).
(9.5.22)
370
ГЛ. 9. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ
Формулы (9.5.22) определяют плотность и ф. р. нормированного закона Эрлапга гс-го порядка; числовые характеристики с. в. Т(п) = Т(п)/п найдем выно-
ся 1/п из-под знака м. M [Т{п)] = M [Tw]/n =
и 1/п2 D[7\n)] =
из-под
знака
o[Tw\ -
дисперсии: 1
кУ~п
(9.5.23)
Из
этих формул видно, что с увеличением
Т,
п м. о. случайной величины У'(п) не мепяется, ее с. к. о. неограниченно уменьшается; соответственно, коэффициент вариации стремится к нулю. Ua рис. 9.5.4
Рис. 9 5.4
изображено семейство нормированных законов Эрлапга для п = 1, 2, 3, 4, 5, 6 и А, — 1.
Плотность св. Т{п) (или Г(л>), распределенной по эакону Эрлапга п-го порядка, представляет собой частный случай гамма-распределения (п. 6.4) при п целом. Следовательно, характеристическая функция с в, Т(п) будет определяться по формуле
(X - 1х)ь
(9.5.24)
9.5. ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 371
проведем композицию двух равномерных законов распределения.
По формуле (9.4.5) получим
OO
Гі.а (У) = J Ji (У - *«) U (rt) dx2
0. при І у I > 2а;
"PH \У\<2а.
Сумма X1+ X2= Ft,2 распределена но закону равнобедренного треугольника (закону Симпсона) на участке (-2а, 2а) (рис. 9.5.5).
а для с. в. T(п) — по формуле
Предел этого выражения, как известно из курса математики,
lim Ъп (X) = Hm (-?)" = e-<~ixM - eixl\ (9.5.26)
Следовательно, при п <» св. Г<п) «стремится» (точнее — сходится по вероятности) к неслучайной величине
(~ 71—» оо \
Г(>г)-^ IAj, так как предельное выражение для
характеристической функции совпадает с характеристической функцией неслучайной величины (8.9.6). >
Пример 2. Найти закон распределения суммы трех независимых с. в. Xi, X2, X3, каждая из которых распределена равномерно на интервале (—а; а):
U(Xi)= I/(2а) при хг^(-а, я); (J-I1 2, 3).
Решение. Обозначим Y = X1 + X2 + X3. Найдем первоначально закон распределения св. F1>2 = Xi+ X2, т. е.
372
ГЛ. 9. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим св. У=У12 + Х3. По формуле (9.4.5) проведем композицию закона Симпсоиа и равномерного распределения:
О при \у\>3а\ -ІГ11- при а<|г/|<3я;
16а<
За
2
8ad
при J у К а.
Кривая распределения g(y) состоит из трех отрезков парабол (рис. 9.5.6). >
9.6. Закон распределения минимума (максимума) двух случайных величин. Закон распределения порядковых статистик
В этом пункте мы рассмотрим прежде всего такое функциональное преобразование с. в., которое заключается в выборе максимальной (минимальной) из двух величин.
Задача 1. Закон распределения минимума двух случайных величии. Дана непрерывная система с. в. (X1, X2) с п. p. /(X1, х2). Найти функцию распределения с в. Y:
Y = HUn(X1, X2) =
X1 при Xt<X2, X2 при X1^X2.
Решение. Найдем сначала P{Y>y) = P{X1>y;X2> > у). Область D(у), где X1 > у и X2> у показана на рис. 9.6.1. Вероятность попадания точки (X1, X2) в область D(у) равна
P {Y > у} = 1 - G (у) = P {(X11 X2) є= D (у)} =
- F (oo, oo) - F (у, oo) - F (oo, у) + F (у, у) =
- i-PiW-FtW) + F(]f, у),
9.6. МИНИМУМ (МАКСИМУМ) СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 373
dF. (у) С
—--fi(y) « \ JUf X2)Jx2]
— 00 OO
dy dF2 (у)
ті dF (у, у) м
Для отыскания —rf рассмотрим полный дифференциал функции F(yu у2):
OV1
Отсюда
dF (у, и) 9JJJIvJ)і і
+
9Г(у, уг) 0»*
«і у
<>У,.
* —ОО —OO
J j J(X11 X2)Ux1Ux2 - J /(г/, J2)
і Ar2 +
V2=V -оо
Плотность распределения с. в. Y:
