Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
OO
6W-H I f (X11 XJdXt)CIx1. (9.3.4)
-со \(<P(xvx2)<V)
9 3 ФУНКЦИЯ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ АРГУМЕНТОВ
355
Дифференцируя это выражение но у, получим плотность распределения с. в. Y:
О 00
(9.3.8)
Пример 1. Случайная точка (,Y,, X1) распределена равномерно в квадрате К со стороной 1 (рис. 9.3.2).
Рис. 9 3.1 Рис. 9.3.2
Найти закон распределения площади Y прямоугольника R со сторонами X1, X2: Y = X1 X2.
Решение. Очевидно, что в нашем примере св. X, и X2 независимы:
/.(?«)=1 (0<*,<1); =1 (0<z2< 1).
Область интегрирования (X1 • хг < у) заштрихована на рис 9.3.3. По формуле (9.3.6) получим:
G (у)= JJ Ur1Ar,-1- JJ Ayfr,-1 I
«1-JdJ1 j dx, = у(1 -In у) (0<</<1).
V У'*х
Окончательно имеем:
!О при
у(1 — 1пу) при 0<»<1;
1 при #>1.
Днфферепцируя это выражение по у, получим п. р.
12*
356 ГЛ. 9. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
случайной величины У:
*fo)--lny (0<*/<1). >
Задача 2. Система св. (X1, X2) имеет совместную п. p. j(rh X2). Найти п. p. g (у) их отношения У = X71ZXi.
Решение. Зададимся некоторым значением у и построим на плоскости Z1Oz2 область D(у), где Cp(X1, х2)=* ^ X2/Xi < у (заштрихованная область D (у) на рис. 9.3.4).
Рис. 9.3.3 Рис. 9.3.4
По формуле (9.3.5) находим функцию распределения случайной величины У:
G to) = 11 ' ^1' dxidxi = (*2/^<у)
-JJ /(*i.*t)«fra **i+J J /(?, X1)Ar1 Лгх. (9.3.9)
-оо VlZ^1 / 0 \-«> /
Дифференцируя это выражение по у, найдем п. р. случайной величины У:
О оо
S (У) — — 1 + J «1/(?' > (9.3.10)
— оо О
Пример 2. Найти п. р. отношения XJX2 = Y двух независимых нормально распределенных с в. X1, X2 с характеристиками W1-Zn2=^O; O1; о2.
Решение. Сперва найдем п. р. случайной величины 7« Уо2/Оі — (Xi/Oi)/(X2Aj2). Обозначим X1Zo1 — Xt; X2Zo2-X2. В соответствии с решением примера 2 п. 9.1 с в. и X2 будут распределены нормально с характе-
9.4 СУММА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
357
ристиками /Ti1 = Zn2 = O; Gi = O2 1. По формуле (9.3.10) п. р. случайной величины У будет определяться из выражения
2
эс,
о
~2 2 У 'X1
*1 У2х2
J У2л 1J У2я пА>~ 1
У2л
Следовательно, с. в. 7 распределена по закону Копій; по формуле (9.1.10) получаем:
тоже закон Коши. >
Пример 3. Случайная точка (X1, X2) распределена равномерно внутри круга к радиуса г = 1. Найти п. р. случайной величины Y-XJXx.
P е ш е п и е. Функция распределения G (у) есть относительная
У/ЖФ/)-
2
\
Рис. 9,3.5
площадь области D (у) (рис. 9.3.5): G(y)=-^-[arctg у + -^-j,
откуда
dG (у) 1
dV 7і (і+ У2)
— тоже закон Коши. ^
9.4. Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция двух законов распределеиия
На практике часто возникает надобность находить закон распределения суммы случайных величин.
Пусть имеются система (X1, X2) двух непрерывных с. в. и их сумма
y = xt + x2.
Найдем плотность распределения с. в. У. В соответствии с общим решением предыдущего пункта, находим
358
ГЛ. 9. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
область плоскости JiOx2, где хх-\-хг<у (рис. 9.4.1):
ос (У~хх \
G (у) = Jf f(xvx2)dxxdx2= J j f{xv x2)dx2\dxu
(ІХУ)) -оо I ~oo j
(9.4.1)
Дифференцируя это выражение по у, получим п. р. случайной величины Y = X1 + X2:
OO
і W)- J Hx1W-X1)Ux1. (9.4.2)
— OO
Так как функция cp(*i, ;r2) = Ji + J2 симметрична относительно своих аргументов, то
Х2
////
У
/у /// у ///,
У////
щА
'/<-/<
Рис. 9.4.1
ё(У)= j Цу-х./,хг)ах2
(9.4.3)
Если с. в. X1 и X2 независимы, то формулы (9.4.2) и (9.4.3) примут вид:
(9.4.4) (9.4.5)
— 00 оо
g(y) = j/i (У-x2) /2(j2) dx2.
В случае, когда складываются независимые с. в. X1 и X2, говорят о композиции законов распределения. Произвести композицию двух законов распределения — это значит найти закон распределения суммы двух независимых св., распределенных по этим законам. Для обозначения композиции законов распределения применяется символическая запись
(9.4.6;
которой по существу обозначаются формулы (9.4.4) или (9.4.5).
Пример 1. Рассматривается работа двух технических устройств (ТУ). Сначала работает ТУ<; после его выхода из строя (отказа) включается в работу ТУ2. Рремепа безотказной работы ТУї, ТУ» — X, и X2- независимы и распределены по показательным законам о
9 4 СУММА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 359
параметрами X1 и X2. Следовательно, время Y безотказной работы ТУ, состоящего из TY1 и ТУ2, будет определяться по формуле
Y - X1 + X2.
Требуется найти п. р. случайной величины Y — т. е. композицию двух показательных законов с параметрами X1 и X2:
/і И - V~Vl (*i > 0); h (*а) - V"Vs (*2 > 0).
(9.4.7)
Решение. По формуле (9.4.4) получим (у > Q) о
- X1Jt/-* J A-*i>*. _(г* - г*) („ > 0).
(9/1.8)
Если находится композиция двух показательных законов с одинаковыми параметрами (X1-X2 = X), то в выражении (.9.4.8) получается неопределенность типа 0/0, раскрывая которую, получим:
