Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Если случайные величины не зависимы, то формула (9.5.2) цринимает вид:
OO OO
б (if)- J («-i)J ( J fi(Xi) dx Л ft(x2) ...
-oo -oo (((J)(X1.....*n)<y) j
.. . fn(xn)dx2 ... dxn. (9.5.4)
Задача 1. Закон распределения суммы нескольких случайных величии. Пусть (X1, X2, ..., Xn)—система непрерывных случайных величин с плотностью /(#!, х2, ..., Xn), а с. в. Y равна их сумме:
У = ^x1.
(9.5.5)
364
ГЛ. 9. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
Функция у = X1+ S Xi (при Xt = const; ? = 2, ..., л)'
является монотонной функцией аргумента я і. Следовательно, применяя тот же прием, что и в случае суммирования двух св. (п. 9.4), получим
oo oo
G (у) = J 0-1) J
1=2
J /і|'2.....я (Х1 \Х2> • • • і ^n)
X
X /2,...,71 (? » • • • і ^и) • • • &Хпш
Из соображений симметрии последнюю формулу можно
переписать в виде:
у- S X1 <«*А)
с(у) — J (n-i) Jl J /Мм.....fc.i.a+i.....n (xk\xVt . . .
—00 —зо \ —30 ¦ ' *) Xf1-U Xk+ і, . . ., #n) ^ft) /j,2.....A-l,ft + l....,w(#l» . . •
..., хд+1* . •., #n)d#i •.. dxk-xdxk+i ... dxn. Дифференцируя последнюю формулу по у} получим:
X^i ... dxb-idxb+i ... (9.5.6)
Если случайные величины независимы, то
giy)— J (n-i) J Z1(JT1) .,, /ft-j^-i) /Л у — 2 *i]...
V U /
... /и (*л) Ar1 ... dxk^dx^i ... rf.rn. (9.5.7)
Формула (9.5.7) выражает композицию п законов распределения и может быть записана в символическом виде
Задача 2. Закон распределения линейной функции п случайных величин. Найдем функцию распределения и плотность распределения
U.5. ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИИ
365
г=1
Рассмотрим график функции у = U1X1 + 2ай + & при
г=2
x=(2,J,...,/7;
Рис. 9.5.1
фиксированных значениях х< (? = 2, ..., п) (рис. 9.5.1, а, 9.5.1, б). При > 0 получим
оо оо 1 \i=a //
j(n-l) J j f /l|j,....n(Xil*„ ...
—oo —oo \ — oo ^
. . ., Xn) (Ix1)
• /2,...,n(?' • • •» %n)dx2 ... dxn'y (9.5.8)
g(y) = J^-" j [.2 «Л + ^a1; x2, ..., Xnj X
X dx2 ... dxn. (9.5.9)
При Af1 < О получим
00 OO /
G ДО- J(n-i) j (
— OO —OO
J /і|2,...,?г(^і|^2' • • •
Ніі0?Хі+ь)/аі
,.., Xn) ^x1) /2.....„ (х2, ..., Xn) dx2 ... dxn\ (9.5.10)
8(У) = 1 (n-1} 1 / ( S + й)^1; ^. • • • *nj X
Xdtt?..dzn. (9.5.11)
с. в. У:
У - І U1X1 + ь.
306 ГЛ. 9. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
Формулы (9.5.9) и (9.5.11) можно объединить в одну * (у)-sign**! j (n-i) j / ^yIa1 — (.2<МЧ + bj Ja1,
J2, . .., Jn) Ar2 ... dxn. (9.5.12)
Исходя из симметрии задачи, формулу (9.5.12) можно переписать в виде:
8
oo oo /
(у) - signa* j (n-i) J / f j1, ..., яга-і, y/aA
— OO — OO \
¦(
2 ai*i + b ak, jft+1, ...,JnUj1... drh-1dxk+l.. .Arn
и Il I
(Ar= 1, 2, .... и). (9.5.13) Если с. в. Х( (і = 1, 2, ..., и) независимы, то
OO OO
г (у) - Signa* J j Z1 (X1) ... fb-i{zb-i) X
— OO —оо
X fk ^y/ah — ^ Д ал + |<ifc j /а + 1 (ja + 1) . ..
... fn(x„) Ar1 . .. dxb-xdxh+i ... dxn.
(A- —1,2...../г). (9.5.14)
Пример 1. Рассматривается работа п ТУ, которые включаются последовательно: сперва работает ТУ,, затем ТУ2 и т. д. Время T безотказной работы ТУ, распределено по показательному закону с параметром h и не зависит от времени работы других ТУ (/=1, 2, ...
п). Время Т(п) безотказной работы такой системы получится сложением времен работы отдельных ТУ:
п
Т{п) — 2 Ti. г-=1
Найти закон распределения и числовые характеристики с. в. 7\п), т. е. произвести композицию п показательных законов распределения с параметрами Ки K21 ..., ^n-
9.5. ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 367
C(B)(O-J^n)(O Л-
О
-(-і)""'n^i2 "~g — е>°>- (9-5-16)
i=1 '"1^ II (*i- >•*)
Закон распределения св. Т{п) называется обобщенным законом Эрланга гс-го порядка. Для обобщенного закона ,Эрланга п-ю порядка м, о, и диснерсия равны:
d [л,)]-d| 2^iI-2 тг- <9-5-17)
Li^i j і—і аі
Обобщенными законами Эрланга л-го порядка удобно аппроксимировать различные законы распределения неотрицательных случайных величин,
Решение. Введем следующие обозначения
7\,2 = 7\ + T2;
7\,2,з — 7\,2 + T1S, ..., Ttt2.....А — 7\>2.....A_i + 7\, ..,
Закон распределения каждой из введенных с. в. представляет собой композицию законов распределения. Методом математической индукции можно доказать, что п. р. суммы п независимых с. в. 7\, T2, ..., Tn, распределенных по показательным законам с параметраАми Я4, X2, ..., Kn имеет вид
Лю (О - (- I)""1 П h 2 -т-^- (' > 0); (9-5.15)
ф. р. случайной величины Т(п) определяется так:
368 ГЛ. 9, ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
Т1 h T3 T1 та
Рас. 9.5.2
представляет собой интервал времени, содержащий п интервалов между событиями в этом потоке (рис. 9.5.2). На рис. 9.5.3 изображено семейство законов Эрланга л-го порядка для и = 1, 2, ..., 5, 6 и X = 1. При тг=1 мы получаем показательный закоп.
При X1 = X2 = ... Xn = X получаем закон Эрланга гс-го порядка (дг=1, 2, ...), рассмотренный в п. 6.4:
