Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
У У
B(V) - Ш + Ш~ J / (I/, *2)^2- J JZ)^x. (9.6.2)
— OO —00
Если с в. Xi, X2 распределены одинаково, то
OO
G (у) - 2F (j/) - F (у, у); ? (у) = 2/ (г/) - 2 j / (у, *2) d*2.
(9.6.3)
где F(Xi1 X2)— функция распределения системы с. в. (X1, X2), F1(Xx)1 F2(X2) — функции распределения с. в. X1 и X2 соответственно. Следовательно,
G(y)~ F1(V) +Fz(y)-F(yt у). (9.6.1)
Для определения п. p. g(y) нужно найти производную правой части (9.6.1):
374
ГЛ. 9. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
Если с. в. X1, X2 независимы, то F(xu х2) = F1(X1)F2(X2);
X2) = J1(X1)U(X2) и
G(y) = Fl(y) + F2(y)^Fl(y)F2(y), g (У) - /i (if) (1 - (У)) + U (У) (1 - (J/))-Если с. в. Xj, X2 независимы и распределены одинаково
С П. р. /і(*) 5888/а (*)=/(*), то
G(y)-F(y)(2-F(y)); g(y) = 2j(y)(l-F(y)). > (9.6.5)
Пример 1. Рассматривается работа ТУ, состоящего из двух блоков B1 и B2, совместная работа которых безусловно необходима для работы ТУ. Времена работы блоков Bi и B2 представляют собой независимые с. в. Xi и X2 распределенные по показательным законам с параметрами Ki и K2. Требуется найти закон распределения св. У — времени работы ТУ.
Решение. Очевидно, что
У = mintX,, X2). По формулам (9.6.4) находим:
G(y) = l- 1 - Г'-" - (1 - є'**) (1 - е'**) =
-i_e-<W>" {у>0),
т. е. минимум двух независимых случайных величин, распределенных по показательным законам с параметрами Ki и K2, распределен тоже по показательному закону с параметром Ki + K2. >
Задача 2. Закон распределения минимальной из п независимых случайных в о-л и ч и н. Дана система п независимых с. в. (X1, X2, ...
Xn) с п. p. Ji(X1), U{x2), Jn(X11). Найти ф. р. и плотность с. в. У ^=HHn(X1, ..., Xn}.
Решение. По определению
см-р{У<у} = 1-р{У>0}-
= 1 - P {(X1 > j,) (X2 ></)... (Xn > у)} =
= і - U P № > у} = і - П (1 - Fi (У)), (0.6.6)
г=1 г=1
где Fi (у) = P {Xi <у} — функция распределения с. в.
0 6 МИНИМУМ (МАКСИМУМ) СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 375
X1 (J = I1 2, п);
ё M = = 2 Ш Ц (1 - Pi Or)V(I - Fi (У)). (9.6.7)
Если величины /Y1, ..., Xn распределены одипаково, то g(y) = nf(y)(l-F(y))n-1; G(y) = l-(l-F(y))\ >
(9.6.8)
Пример 2. Рассматривается работа автоматизированной системы (АС), состоящей из п подсистем. Для работы AC необходима работа всех п подсистем; время безотказной работы і-й подсистемы Т{ распределено по показательному закону с параметром А< (i = 1, 2, ..., п) и не зависит от времени работы других подсистем. Определить закон распределения времени Т{п) безотказной работы АС.
Решение. Очевидно, что
Г"> - mintfi, T21 Ти TJ.
По формуле (9.6.6) находим функцию распределения с. в. Гп)
.G(">(/) = 1 _П (1 _ F2(O), где F1U)= і - е~ш (<> 0). Отсюда С(п,(0-1-П0-1 + '~У)-
-і-Пгц'-і-,-^ (*>0)j
где Xin) - S
Таким образом, закон распределения с. в. 7,(п) — минимальной из п независимых св., распределенных по показательным законам, также является показательным; при этом его параметр (\{пУ) равен сумме параметров Xi этих показательных распределений. Из этого следует, что
1 j kw п * »I* j (х(й))» о[Т(п)]=М[Т(п)]. >
2»
376
ГЛ. 9. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
Можно показать, что закон распределения св. Т'кП) при достаточно большом п будет сходиться к показательному закону, даже если св. 7\ = 2, ..п) не распределены по показательным законам. Покажем это на примере одинаково равномерно распределенных св.:
0 при *<0;
tin при 0< t<. п; }(i = l,.. .,л).
1 при п < t
Ft(I)-F V)-p {Tt<t}.
В этом случае
CW(O-I-U(I-^W)-
0 при *<0; !-.(І — і/л)" при 0<t<n;
1 при п< t.
При п сю получаем
_ (O при 2<0;
^00 w U — ^ при *>о.
а это есть ф. р. показательного закопа.
Таким образом, можно сделать вывод, широко применяемый в инженерных приложениях: если какое-либо устройство состоит из достаточно большого числа элементов /г, работа которых безусловно необходима для работы устройства, то закон распределения времени Т{п) безотказной работы устройства близок к показательному с параметром, определяемым по формуле
&(п)-і/м[г(п)]- 2i/m[7u і=і
где m [T\] — среднее время безотказной работы і-го элемента.
Поток отказов такого устройства будет близок к пуас-соновскому с параметром \{п). >
Задача 3. Закон распределения максимальной из двух случайных величин. Дана непрерывная система св. (X1, X2) с плотностью f(xuх2). Требуется найти закон распределения с. в.
Y — max {X1, X2}. Решение. По определению, Cr (у) - P {Y < у) - P (max (X1, X2} <y}-F (у, у), (9.6.9)
9 6. МИНИМУМ (МАКСИМУМ) СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 377
— OO —OO
Дифференцируя это выражение, как делали раньше, получим:
у У
g(y)= J 1(*пУ)ахх+ j Ky1X2)(Ix2. (9.6.10)
— OO —OO
Если случайные величины X1, X2 распределены одинаково, то
у
g(y) = 2 j' f (X1, у) dXl. (9.6.11)
— OO
Если случайные величины X1, X2 независимы, то G (у) = F1Iy)F, (у); \
8 (у) = h (V)FM + U (У) Fx (У)- j (9-6л2)
