Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
9.2. ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
351
(I - I1 2, 3,. ...),
ние Xi св. X1 и по ф.p. Gi(ух) определяют значение yt с. в. F1, затем разыгрывают значение X2 с в. X2 и по ф. p. G2(y2) определяют значение уг св. F2 и т. д.
Пример 1. Получить значение дискретпой св. F, распределенной по закону Пуассона с параметроїм а = 1,
Решение.
р{У = /с} = ^-Є-* = і^ (к = 0, 1,2,3, ...)•
По формуле (9.2.4) находим интервалы A0 - (0, е-1];
* 1 к
где 2 P {У - Щ = 2 TT " Л ^ а); Ло = (°; °>3679];
A1 =(0,3679; 0,7358];"Д2 = (0,7358; 0,9197], ...
Пусть, например, в результате розыгрыша с. в. X приняла значение X = 0,3758. Следовательно, # є и значение у с. в. F будет равно единице (г/ = 1). >
Пример 2. Получить значение с. в. F, распределенной по закону Релея с параметром о — 1.
Решение. G (у) = 1 - ехр 1-1/72} (у > 0);
G-1 (Ж) = (-In (1 - х) - 2)1/2 (0 < л? < 1)\
Пусть например, в результате розыгрыша с. в. X приняла значение X = 0,6738; тогда значение с. в. F будет
у = (- In (1 - 0,6738)-2)172 « 1,497. +
Пример 3. Выходное напряжение F стабилизатора имеет функцию распределения
G (У) =
0 при у<110;
Ф [(у - 120)/10] + 0,5 при НО < у < 130;
1 при 130 < j/,
где Ф(я)"—функция Лапласа, у выражается в вольтах. Преобразуя с. в. X, распределенную равномерно на интервале (0, 1), разыграть значение св. F,
352
ГЛ. 9. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ функций
Решение. Св. У —смешанная:
P {Y = 110} = Ф (110~12°) + 0,5 « 0,1587;
р {Y = 130} = 0,5 - Ф (130^120) « 0,1587.
График G (у) показан на рис. 9.2.4.
Начинаем с розыгрыша значения х с. в. X, Если это
значение попадет па ин-
G(y)
о,вт
0,8
тервал Ai = (O; 0,1587], то У примет значение у = = у і == 110 [вольт]; если х^ A1= (0,1587; 0,8413], то у = 10 -Ф-1 (* -0,5) +120 [вольт], где Ф"1^) — фупкция, обратная функции Лапласа Ф(х); если я є A2 = (0,8413; 1], то но по 130 X г, = ^=130 [вольт]. Пусть, Рис 9.2.4 например, в результате
розыгрыша с в. X приняла значение X = 0,7453, значит, :r^At;
0,7453 = Ф [(у - 120)/10] + 0,5; (у - 120)/10 =
= ф-! (0,2453)« 0,66,
отсюда значение с в. У будет
у = 120 + 6,6 = 126,6 [вольт]. >
Пример 4. Разыграть значения у{ и уг системы св. (Y1, У2), если св. У4 распределена по показательному закону с TUy1 = 2, ас. в. Y2 — по нормальпому закону; случайные величины Уі, Y2 зависимы: условная плотность с. в. Y2 при У4 = yt равна
(*a-*i)21
Є% (V2Ul)
Решение.
ехр —
2
Gi (PiJ; = 1 - ехр {-Уі/2> (*л > O)1
откуда
Vi - СГ1 (^1) = - [In (1 - X1)] -2 (0 < Z1 < 1);
адгЫ^Ф^-г/О+од
откуда
V2 = 01 + 0-^2-0,5),
9.3. ФУНКЦИЯ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ АРГУМЕНТОВ
353
Пусть в результате двукратного розыгрыша св. X1 п X2 припяли значения ^r1 = 0,3872 и X2 = 0,6387. Соответствующие им значения yt и уг будут:
у г - -In (1 - 0,3872). 2 » 0,9794, у2 = 0,9794 + Ф"1 (0,6387 - O1S)» 1,333. *
9.3. Законы распределения фупкции двух случайных аргументов
Рассмотрим функцию двух случайных аргументов
и найдем функцию распределения с. в. У, считая известной плотность /(X1, X2) системы (X1, X2).
Сделаем гипотезу, состоящую в том, что Хає[х2, хг + + Ar2), Вероятность этой гипотезы P(X2 е(х2, X2 + dx2)} «
« /2(?) Ar2 = I j f(xn ^2) 1 dx2. В предположении,
что эта гипотеза имела место, найдем условную функцию распределения, т. е. условную вероятность события {Y < у} при условии X2 = хг\
G(у\х2) - P{У <у\х2) = P {Ф(X1, X2)<у} -
J UMx2) dxu (9.3.2)
где /ці(*|Ix8)»/(*!, x2)//2(xj—условная п. р. случайной величины X1.
Область интегрирования в (9.3.2) определяется из условия, что при фиксированном значепии переменной X2 функция ф(Хі, х2) < у. Применяя интегральную формулу полной вероятности, получаем
(9.3.1)
OO
dxAdxt. (9.3.3)
12 Теория вероятностей и ее инженерные приложения
354 ГЛ. 9. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
Последние две формулы можно объединить:
G (у)- JJ" f(x1,x2)dxldx2i (9.3.5)
(<P(xvx2)<y)
где область интегрирования на плоскости Z1(Xr2 определяется из условия Cp(X1, хг) < у. Дифференцируя (9.3.5) но величине у, найдем плотность распределения с. в. Y:
В случае, если с. в. X1 и X2 независимы, их плотность X2) — ft(xi)- J2(X2), и формулы (9.3.3)-(9.3.5) примут вид:
OO
-»\(4*vxz)<») I
OO
- I hi**) dx^fMdxv (9.3.6)
-oo \(4*VX2)<V) J
Задача 1. Система св. (X1, X2) имеет совместную плотность j(xu X2). Най ги плотность распределения их произведения: F = X1 X2.
Решение. Зададимся некоторым значением у и построим на плоскости XiOx2 область, где (р(хи X2)=3 = х{-х2<у (заштрихованная область D(у) на рис. 9.3.1). Эта область ограничена двумя гиперболами, асимптоты которых совпадают с осями координат. По формуле (9.3.5) находим функцию распределения св. Y:
G(y)= H 1{X11X2)UXxUX2 =
(*1*X2<V)
О / oo ч oo / tf/*! \
- 1 ( J* f(xi, X2)JxAdX1+ U ( /Cr1, X2) dx2 \dxv
(9.3.7)
Мы могли начать с того, что зафиксировать значелие с. в. Xi, а не с в. X2, поэтому
