Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
344
ГЛ. О ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
ное на производную нижнего предела), получим в нашем случае
+ ї(Ь(у))Ь(у)-і(Ь(у))Ь(у)+ ... (9.1.11)
В тех точках, где ф(#), пересекая прямую у, убывает (начало соответствующего участка оси абсцисс, для которого Y<y), производная г|/(г/) отрицательна; она же входит в сумму (9.1.11) со знаком минус; в тех точках, где ф(я) возрастает, ty'(y) (конец участка) она имеет знак плюс. Производные постоянных а и b равны пулю, поэтому безразлично, фигурируют ли точки а и b в виде начала или конца какого-либо участка. Все члены в формуле (9.1.11) положительны, и она принимает очень простой вид:
8(У)~ 2f{ty(y))Wi{y)l (9.1.12)
где к — число значений обратной функции, соответствующее данному г/, г|),(г/); г|)2(г/); ...; tyh(у) — значения обратной функции, соответствующие данному у.
Задача 2. Закон распределения модуля случайной величины. Задача ставится следующим образом: дана непрерывная с. в. X с плотностью f(x) на
ZZ=IXi = CC)Ca:) Участке (-°°» +0°)ї случайная у I У величипа Y связана с нею соотношением:
У-ІХІ.
Найти плотность распределе-ft(y) 0 <р2(у) X пия св. у.
Рис. 9.1.8 Решение. Функция у =
= \х\ не монотонна; ее график показан на рис. 9.1.8. Обратная функция при данном у имеет два значения: (і/).= —у, ?2(!/) = !/. По формуле (9.1.12) получим:
g(y)=f(-y)-1-11 +/(»HU =f(-y)+f(y) Qf>0)
(9.1.13)
(отрицательной случайная величина У быть не может).
В частности, если плотность }(х) симметрична относительно начала координат, т. е. /(-^) = /(^), формула
9.1. ФУНКЦИЯ ОДНОГО СЛУЧАЙНОГО АРГУМЕНТА 345
(9.1.13) даст:
S(V)-2/QO (у>0). >
Задача 3. Закон распределения квадрата случайной величины. Пусть непрерывная с. в. X имеет плотность f(x); найти плотность распределения ее квадрата.
Решение. Функция у="Х^_ не монотонна (рис. 9.1.9); ф|(») = -У»; ЬІУ^УУ- Формула (9.1.12) дает g(у)- j(-Iy) (2у)-1/2 + J(Уу) (2y)~i/2 (y>Q).B частном случае, когда с. в. X имеет нормальное распределение с параметрами тх = 0; Ox = 1;/(я) = e~x^2/ V^n1 с. в. У имеет распределение
g(y) = e-"'*/i2w (у>0).
Кривая этого распределения показана на рис 9.1.10. >
Рис. 9.1.9 Рис. 9.1.10
До сих пор мы рассматривали только случай, когда аргумент функции У — ф (X) — непрерывная случайная величина. Теперь рассмотрим более простой по существу, но более сложный в записи случай, когда аргумент X — дискретная с. в. с рядом распределения
X :
*1
Х2
Pl
Pi
...
Pn
Некое «подобие» ряда распределения с. в. У даст таблица
<p(*l)
...
P2
. • «
Pn
Чтобы сделать из нее ряд распределения, нужно, во-первых, расположить значения, стоящие в верхней строке, в порядке возрастания, а, во-вторых, объединить те из
346
ГЛ. 9. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
них, которые окажутся равными (в силу неоднозначности обратной функции), и сложить соответствующие вероятности. Полученный таким образом ряд а будет рядом распределения с. в. У.
Пример 11. Дискретная св. X имеет ряд распределения
— 2
— 1
0
1
2
0,3
0,1
0,1
0,3
0,2
Построить ряд распределения ее квадрата
Y = X2.
Решение. «Неупорядоченный» ряд распределения имеет вид:
4
1
0
1 ] 4
0,3
од
од
0,3 J 0,2
Расположим значения св. У в порядке возрастания, объединим равные и сложим их вероятности; получим ряд распределения с в. У:
Y :
0
1
4
0,1
0,4
0,5
Пример 12. Число X неисправностей на участке высоковольтной линии в течение года имеет распределение Пуассона с параметром а. Общий материальный ущерб от этих неисправностей пропорционален квадрату их числа:
Y = cX\
где с > 0 — неслучайная величина. Найти закон распределения этого ущерба.
Решение. Ряд распределения X имеет вид:
X :
0
1
2
т
...
е~а
ае~а
<л-а/21
• •.
ате~а/т\
...
Так как значения У возрастают вместе со значепиями X и среди них нет совпадающих (обратная фупкция на участке 0, 1, яг, ... однозначна), то ряд распределения У имеет вид:
9.2. ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
347
9.2. Получение случайной величины с заданным распределением путем функционального преобразования
Здесь мы рассмотрим важную для практики работы с ЭВМ задачу о получении св. Fc заданным распределением путем функционального преобразования другой с в. Эта задача часто встречается при моделировании случайных явлений на ЭВМ методом статистических испытаний (метод Монте-Карло). Задача ставится следующим образом: в нашем распоряжении имеется с в. X с заданной плотностью f(x). Спрашивается, какому функциональному преобразованию У = ф(Х) ее надо подвергнуть, чтобы с. в. У имела заданное распределение?
В практике работы с ЭВМ исходной случайной величиной X является непрерывная с. в. X1 распределенная с постоянной плотностью на интервале (0,1):
/(*)
при Xe(O1I),!*) 0 при X^(O1 I)J
(9.2,1)
Пусть мы хотим, чтобы путем функционального преобразования Y = ф (X) из нее получилась с. в. с заданной ф. р, G(у). Докажем, что для этого надо подвергнуть с в. X функциональному преобразованию
