Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Если случайные величины X1, X2 независимы п распределены одинаково, то
G(y) = (F(y)y; g(y) = 2f(y)F(y). (9.6.13)
Пример 3. Работа ТУ не может быть начата раньше того, как будет окончена сборка двух его блоков B1 и B2. Время сборки блоков B1 и B2 представляет собой систему независимых св. X1 и X2, распределенных по показательным законам с параметрами и Х,2. Требуется найти плотность св. Y — времени окончания сборки обоих блоков ТУ.
Решение. Очевидно, что У = max{X1, X2}. Плотность распределения св. У определяется по формуле (9.6.12)
g (У) = V~"lV (1 - е^) + V"'2" (1 - e'hv) (у > 0).
Этот закон не является показательным. >
Задача 4. Закон распределения максимальной из п независимых случайных в е-
где F(xu X2)— функция распределения системы (X1, X2). F(xv J2) = j j /(X11X2)(Ix^x2;
— СО —OO
У У
F(y,y)=\ j /(X1, X2)(Ix1(Ix2.
378 ГЛ. 9. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
личин, Дана непрерывная система св. (Jf,, X2, ..., Xn) с плотностью J(Xi1 x2l ..., хп). Найти закон распределения случайной величины
F = HIax(X1, XJ. Решение. По определению G (у) - P {Y < у} - P {max (X1, ..., X,} < у) = -Р{*і<У, *2<У, ...,^<у}-^0,,у, ...,у), (9.6.14)
где F(^1, x2l Jn)—функция распределения системы (X1, X2, Xn). Дифференцируя, найдем плотность распределения:
п V У
г==1 —со —oo
..., Xn) dxt ... dxi-idxi+1 ... dxn. (9.6.15) Если случайные величины X1, ..., Xn независимы, то
G (у)-Й *(0)-2гт|-гП*Ш, (9.6.16)
ГДЄ Fj(Jj)— ф.р. СВ. XjJ Zj(Jj)— ее плотность.
Если с. в. X1, ..., Xn независимы и распределены одинаково (Fi(y) = F(y)\ ]i{y) = f(y) и)), то
G(IZ) = [F(I/)]'1; g(y) = nf(y)[F(y))n-\ > (9.6.17)
Пример 4. Работа ТУ не может быть начата раньше того, как будет окончепа сборка всех п его блоков: B1, B2, ..., Bn. Времена сборки блоков B1, ..., Бд представляют собой систему п независимых св. (X1, ..., Х№), распределенных по показательным законам с параметрами hi, ..., Xn.
Требуется найти плотность св. Y — времени окончания сборки всех п блоков ТУ.
Решение. Очевидно, что Y = max {X1, ..., Xn). По формуле (9.6.16) имеем
fur)-п (1-^)2-^5-
i=l J=I 1-« J '
і= і і?*}
9.6. МИНИМУМ (МАКСИМУМ) СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИИ 379
X(w) — т-п по величине принятого значения из случайных величин X1, X2, ..., Xn;
Х(п) — наибольшая но принятому значению из случайных величин X1, X2, Xn (X(n) = max{X1, X2, ..., Xn}).
Очевидно,
X(I) ^ Х(2) ^ ... Х(т) ^ ... Х(,4)# (#)
Случайные величины Х(1), Х(2), Х(п) называются порядковыми статистиками.
Формулы (9.6.8) и (9.6.17) дают законы распределеиия крайних членов Х(1) и Х(п) системы (*).
Найдем функцию распределеиия F(m)(x) св. Х(т). Событие {Х(т)<х} состоит в том, что m св. из системы п с. в. (X1, X2, ..., Xn) будут меньше х и (п — т) с. в. будут больше х. Так как св. X, (J-i1 2, п) независимы и одинаково распределены, то p (Xi < х) — F (х) p(X^z) = 1 — F (х). Нам нужно найти вероятность того, что в п независимых опытах событие {Х{ < х) появится ровно т раз. Применяя бииомиальпое распределение, получим
^m) (х) - p {*(«> < *} - S Cl (F (x))h (I - F (х))п~\
h=m
(9.6.18)
+ 2 (K + h + h)e-{h+K>+>k)u+...
п
п - S >\У
... + (-і)»1-1 2 ^ • >
Задача 5. Закон распределения порядковых статистик. Рассмотрим непрерывную систему одинаково распределенных, независимых св. (X1, X2, Xn) с ф. p. F(x) и п. p. J(x). Расположим значения, принятые случайными величинами X1, X2, ..., Xn, в порядке их возрастания и обозначим:
Х(1) — случайная величина, принявшая наименьшее из значений: (Х(1) = min {X1, X2, XJ);
Х(2) — вторая по величине принятого значения из случайных величин X1, X2, ..., Xn;
380 ГЛ. 9. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ
+
dx2=*
Sign/' \ oxp[-Axl + 2Bx2 + C}dx2,
откуда, дифференцируя, найдем:
Um) {х) = F[m) (х) = nj (х) (%Ц (F (X))"-1 (1 - F (х))п-т.
(9.6.19)
При т = 1 (9.6.19) дает ранее полученную формулу (9.6.8), при т = п — формулу (9.6.17).
9.7. Законы распределения функций от нормально распределенных случайных величин
Нормально распределенные с. в. играют значительную роль в различных инженерных приложениях. Аналогичную роль играют и функции нормальпо распределенных с. в.
В этом пункте мы будем рассматривать следующую задачу. Дана функция системы нормально распределенных с. в. (X1, X2, ..., Xn):
F = (P(X1, X2, Х„)
Требуется найти закон распределения св. У.
Задача 1. Закон распределения линейной функции п нормально распределенных случайных величин
Y = 2 Л + Ъ. (9.7.1)
г=1
Решение. Рассмотрим первоначально случаи, когда число аргументов п = 2. По формулам (7.9.1), (8.3.2') и (9.5.14) имеем
.!((У - Й2*2 ' ЬУа1 - 2Г1 *М'-'-аЛ-ЬУа-ті}(Хї-т2) ,
9 7. ФУНКЦИИ НОРМ РАСПРЕДЕЛЕННОГО АРГУМЕНТА 381
где
л=—[4
2ri«V«
я - -
C =
b — Ci1Hi1 -}- fl2*i2
2 J
2[/l
- + ^TT тЛіГ-Ь-а!»»,) +
a'^'j ' o.a.."
12 1
+
ull
0U'
Следовательно (см. (п. 7.9)),
