Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
III. Если $ и © — фильтры Коши и 0 — некоторая (определенная, как в § 168) базисная окрестность нуля в Я, то существуют базисные окрестности нуля V и № такие, что
(5 + К) (©+#)<= 8© +0. (2)
Доказательство. Для произвольных х, у, V, хш из Я имеет место соотношение
(х + о) {уА-т) = хуА-хтА-оуА-ти. (3)
Пусть теперь дана произвольная окрестность и нуля в Я. Определим V так, что 0' + ?/' + ?/' ^ и, а затем, в соответствии с леммой, множество А в Я, множество В в © и окрестности V' и УК так, что АУК <=11' и К'В с I/', и, наконец, окрестности V ? V' и Ш ? УР' так, что УУ(/. Тогда из (3) следует, что для хеЛ, у е В, У <= К И Шб17 имеет место
(Х + О) (у + щ>)<=ху + и' + 11' + и' ^ху + и,
так что
(Л + V) (В + УР) = АВ + и.
Тем самым доказано III.
Итак, Я является Т-кольцом. Следовательно, и Я — топологическое кольцо и, так как выполнена первая аксиома отделимости Тх, оно будет Т1-кольцом.
Согласно § 168 кольцо Я полное. Итак:
Каждое Т^кольцо погружается в полное Т^кольцо.
606
топологическая алгебра
(ГЛ. XX
§ 171. Пополнение тел
Пусть S — некоторое топологическое тело, которое удовлетворяет первой аксиоме отделимости. Согласно § 170 5 погружается в некоторое полное Т-кольцо S=S/N. Но кольцо S не обязано быть топологическим телом, потому что для некоторого элемента U) ф 0 из S может не существовать обратного, а если он и существует, то не обязан зависеть непрерывно от w.
Для того чтобы S погружалось в полное Т-тело, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась следующая аксиома попол-няемости тел:
SK. Если % — фильтр Коши в S, не сходящийся к нулю, то g-1 — базис фильтра Коши.
Сначала докажем, что аксиома SK обязательно выполняется, если S вкладывается в некоторое полное топологическое тело S*. Действительно, произвольный фильтр Коши S в S при вложении дает некоторый базис фильтра, который в S* имеет ненулевой предел а. Тогда базис фильтра 8 1 сходится ка1, так как отображение д: I—»- х1 непрерывно; следовательно, 8'1 — базис фильтра Коши.
Пусть теперь выполнена аксиома SK- Мы покажем, что S вкладывается в полное топологическое тело.
Прежде всего мы покажем, что прежняя аксиома TS (§ 165) следует из SK.
Пусть (/ — произвольная окрестность нуля в S. Мы должны показать, что существует окрестность V такая, что
(i + vyl^i+u.
Окрестность 1 + V единицы составляет некоторый фильтр Коши 8. который сходится к единице, а потому не сходится к нулю. Согласно SK, множество 8~1=33 является базисом фильтра Коши. Множествами в 33 служат
л = (1+П-\
где, разумеется, из 1 + V исключен нуль. Для каждого уФ 0 из 1 -f- V имеет место соотношение
i-r^rMy-Ue/n/. (I)
Согласно лемме из § 170 для каждой окрестности U существует такая окрестность W и такое множество А' из 33, что
A'W<=-U.
Это множество А' имеет вид (1 -f- V') 1. Выберем теперь V
§ 1711 ПОПОЛНЕНИЕ ТЕЛ 607
в пересечении V'[)W. Тогда А <=, А', V s W7 и, следовательно,
AV ^ A'W<=-U,
1-y^-U, y~'-l е=1/, y-'?l+U.
Это справедливо в отношении всех уфО из 1+К; поэтому
(l+vy^l+u, (2)
что и утверждалось.
Теперь мы можем показать, что каждый элемент аф 0 из S обладает обратным. Элемент а является пределом некоторого фильтра Коши g из S. Согласно SK множество g-1 является базисом фильтра Коши, который, следовательно, обладает в S некоторым пределом Ь. Произведение g_1g имеет, с одной стороны, предел Ьа, а с другой — предел 1, поэтому 6а = 1.
Чтобы показать, что S является телом, мы должны, в соответствии с § 165, показать, что для каждой базисной окрестности О нуля существует базисная окрестность V нуля такая, что
{i + vy^i+?.
Базисные окрестности U и V при гомоморфизме S->S получаются из некоторых базисных окрестностей ? и V из S. Следовательно, достаточно доказать, что
(l+K^El+fy.
Но это немедленно следует из (2), если вспомнить о том, как получаются ? и V из U и V.
Подытожим:
Если имеет место аксиома SK, то S является 1-телом. Для того чтобы тело S погружалось в некоторое полное 1-тело, необходимо и достаточно, чтобы имела место аксиома SK.
По поводу дальнейших сведений о топологических телах см. слелующие работы:
Капланский (Kaplansky I.). Topological methods in valuation theory.—Duke Math. J., 1947, 14, p. 527.
Ковальский, Дюрбаум (Kowalsky H. J., D?rbaum H.). Arithmetische Kennzeichung von K?rpertopologien. — J. reine und angew. Math., 1953, 191, S. 135.
Ковальский (Kowalsky H. J.). Zur topologischen Kennzeichung von K?rpern.—Math. Nachr., 1953, 9, S. 261.
Понтрягин Л. С. Непрерывные группы.—М.: Наука, 1973.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелев дифференциал 569 Абелева группа 28 Абелево расширение 196
— уравнение 196 Абсолютная величина 266
— неразложимость 129 Абсолютно неприводимое представление 383
— целая алгебраическая функция 485 Автоморфизм 43
— внешний 43
— внутренний 43 Аддитивная группа 29
— — кольца 50 Аксиома Архимеда 268
— выбора 238
— отделимости вторая 584
— — первая 584
— пополняемости тел 607
— сильной пополняемости 599
— слабой пополняемости 592
— счетности первая 584
— Хаусдорфа 584 Аксиомы Пеано 20 Алгебра 330
— ассоциативная 330
