Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть для М задана область операторов Q, обладающая следующим свойством:
y(a + b) = ya + yb (1)
для каждого оператора у. Предположим, что ух — непрерывная функция от х. Для этого необходимо и достаточно, чтобы для каждой окрестности U существовала окрестность V со свойством
yV Е U.
Если фильтр % содержит произвольно малые множества А, то и у8 содержит произвольно малые множества у А, т. е. у8 — снова фильтр Коши. Поэтому теория пополнений из § 168 без изменений переносится на ТУмодули с операторами; пополнение М имеет в качестве области операторов снова область П.
Иногда оказывается целесообразным писать ау вместо уа. В этом случае Q называют областью правых операторов, а М — правым О,-модулем.
Вместо (1) в этом случае имеет место равенство
{а -(- Ь) у = ay + by.
(2)
§ 169]
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
603
Если ?2 —кольцо, то, кроме (2), требуется, чтобы выполнялись следующие соотношения:
а(Р + У) = аР + аТ. (3)
а(Ру) = (аР)у. (4)
При переходе к пополнению М и эти свойства остаются верными .
Если ?2 —некоторое Т-кольцо, то предполагается, что произведение ху является непрерывной функцией ОТ X и у. Это свой-
ство тоже переносится на М, так что М — полный правый ?2-модуль.
Если ?2 — некоторое тело и если, кроме уже указанных правил, имеет место
а ? 1 = а, (5)
где 1—единичный элемент тела ?2, то М называется векторным пространством над ?2. Если ?2 — топологическое тело, то требуется еще и непрерывность ху как функции от х и у.
Простой пример топологического векторного пространства над топологическим полем ?2 дает каноническое п-мерное векторное пространство ?2", которое определяется как совокупность всех упорядоченных наборов из п элементов поля ?2: (рх, ... , р„). Умножение векторов на элементы из ?2 задается равенством
(Ро .... Ря)У = (РгТ. •••> РяТ)-
Произвольная базисная окрестность V нулевого вектора состоит из всех векторов, все координаты ръ ... , р„ которых принадлежат некоторой базисной окрестности и нуля в ?2. Аксиомы об окрестностях и непрерывности сложения и умножения оказываются в этом случае выполненными.
Если поле ?2 полно, то и ?2г — полное пространство.
Доказательство. Множество А векторов (Р^ ..., р„) является малым порядка V тогда и только тогда, когда множество элементов р; для каждого I является малым порядка и. Назовем множество элементов р* 1-компонентой множества А и обозначим ее через А1. Если теперь задан некоторый фильтр Коши $ множеств А, то для каждого I образуют некоторый
фильтр Коши в ?2 Если поле ?2 полно, то все эти фильтры Коши имеют некоторые пределы у,- в П. Но тогда в ^ для каждого и существует множество А(1), 1-компонента которого лежит в Уг + П; точно так же существует множество А,2\ 2-компонента которого лежит в у2 + Й, и т- Д- вплоть до А{п). Пересечение А = А11) П А',2) П • • • П А{п) принадлежит тогда множеству (уг, ... • ••> Уп)А-и'- Следовательно, фильтр 8 сходится к пределу (Уо .... У«)>
604 ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА [ГЛ XX
§ 170. Пополнение колец
Тгкольцо Я является аддитивной ^-группой и поэтому может быть расширено до сильно полной группы
Я=Я/М.
При этом Я является аддитивной полугруппой фильтров Коши, а N — нормальной подполугруппой, которая состоит из фильтров с нулевым пределом.
Мы определим в Я умножение, которое превратит Я в «полукольцо», а N — в двусторонний идеал этого «полукольца», так что Я = Я/М окажется полным топологическим кольцом.
Окрестности нуля по-прежнему будут обозначаться буквами и, V, V?, ... Сначала будет доказана
Лемма. Если Щ —фильтр Коши, то для каждой окрестности и существует такая окрестность 117 и такое множество А в §•, что
Л№?Н и
Доказательство. Существует такая окрестность V, что Н' + Н' д(/. Существует, далее, такая окрестность V, что VV ? ??/'. Наконец, существует такое множество А из 8, что
х — у ^ V для всех х и у в А.
Зафиксируем в А элемент у. Существует такая окрестность V? ^ V, что
уЧР<=и' и \Ру=и'.
Но тогда для каждого х из А и каждого г из ? хг — (х — у) г + уг <= V V + у У/ ? С/' + V ? ?/,
так что ЛЦ7??/. Точно так же доказывается, что ИРА^и.
Из этой леммы следует, что
I. Если 8 и © — фильтры Коши, то и —фильтр Коши.
Доказательство. Имеем
ху-х'у' = х{у~у') + (х-х')у'. (1)
Для заданной окрестности и определим V так, чтобы было
У + УеД
Согласно лемме существуют такое множество А в 3, такое множество В в © и такая окрестность 117, что
?В<=У и ЛЦ7 ? К.
(5170]
ПОПОЛНЕНИЕ КОЛЕЦ
605
Можно считать, что А и В — малые множества порядка ИД Если теперь ху и х'у' — два произвольных элемента из АВ (х и х'— из А, у и у'— из В), то из (1) следует соотношение
ху — х'у'
Таким образом, §© —фильтр Коши.
II. Если 5 — фильтр Коши и © — фильтр, сходящийся к нулю, то $© и ©А сходятся к нулю.
Доказательство непосредственно следует из леммы. Согласно I фильтры Коши образуют некоторое полукольцо Я. Согласно II фильтры, сходящиеся к нулю, образуют двусторонний идеал N в этом полукольце. Модуль классов вычетов
я = Я/й
является, следовательно, полным топологическим модулем и кольцом.
Докажем теперь непрерывность умножения в Я:
