Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(ЛПЛ'НКПП
содержится в пересечении АУ и А'У. Покажем теперь, что 33 является базисом фильтра Коши.
Пусть II — некоторая окрестность единицы е и К —настолько малая окрестность, что У~1УУ содержится в (У. Выберем множество А малым порядка V. Для любых двух элементов ао и а'К множества АУ имеют место соотношения
(асу1 а’о’ = гг1 (а^а1) о' е У~гУУ е V,
так что АУ является малым порядка V. Тем самым 33 является базисом фильтра Коши.
598
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. XX
Пересечения произведений АУ ей никогда не являются пустыми, потому что А содержит по крайней мере один элемент а и в каждой окрестности аУ элемента а имеется по крайней мере одна точка из О. Следовательно, пересечения АУ составляют некоторый базис фильтра Коши на П. По условию этот базис имеет некоторый предел Ь в О. В каждой окрестности точки Ь лежит некоторое множество АУ, а потому и его подмножество Ае = А. Тем самым 8 сходится к Ь, чем и заканчивается доказательство.
Задача 1. Если фильтр 5 сходится к а, то 5 является фильтром Коши.
Задача 2. Если базис фильтра © сходится к а, то порожденный базисом © фильтр 5 тоже сходится к а, и наоборот.
Задача 3. Топологическая группа, являющаяся слабо полной и удовлетворяющая первой аксиоме счетности, сильно полна.
(Указание. Пусть V 2, ... — произвольный счетный базис окрестностей
единицы е и д — фильтр Коши. Для каждого п существует множество Ап в этом фильтре, являющееся малым порядка Vп. Построим пересечения
О п = А \ П • - • П Ап
и выберем хп в Оп. Тогда {*„} — некоторая фундаментальная последовательность. предел которой является и пределом фильтра 3.)
§ 168. Пополнение группы с помощью фильтров Коши
В порядке подготовки к изучению сильного пополнения докажем одну лемму, которая совершенно аналогична лемме из § 166 и доказывается точно так же.
Пусть 8 — фильтр Коши. Тогда для каждой окрестности П точки е существует окрестность V этой же точки и множество А из 8 такие, что
х1Ух<^и для всех х из А.
Доказательство. Выберем IУ так, чтобы было \У\У\У ? ? и. Множество А выберем так, чтобы было
хЛу <= У/ для всех х и у из А.
Выберем какой-нибудь фиксированный элемент у и А. Тогда л; 1у и у лх принадлежа! Ф, если л: принадлежит А. В силу Е4 (§ 163) окрестность У можно выбрать в уУУу~1. Тогда х1Ух ?
? {х *у) У/ (у 1х) ? \y\VW ? II для всех х из А.
Под произведением двух фильтров 8 и @ подразумевается
фильтр, порожденный произведениями АВ, А из 8. В из ©.
Произведение фильтров ассоциативно:
8-©>& = 8©-ф. (1)
Действительно, обе части в (1) равны фильтру, порожденному произведениями АВС, А из %, В из ©, С из ?).
Покажем теперь, что:
§ 168]
ПОПОЛНЕНИЕ ГРУППЫ С ПОМОЩЬЮ ФИЛЬТРОВ КОШИ
599
I. Если % и © — фильтры Коши, то —фильтр Коши.
Доказательство. Имеем
(хуУ1 х'у' = у-1 (лгЪО у • (у-у). (2)
Если х и х' принадлежат подходящим образом выбранному множеству А из $ и точно так же у и у' принадлежат подходящим образом выбранному множеству В из ©, то х хх' и у 1у' лежат в произвольно малых окрестностях единицы е, а потому в силу леммы у 1 (х 1х') у принадлежит сколь угодно малой окрестности и; следовательно, произведение (2) лежит в как угодно малой окрестности точки е, что и требовалось доказать.
II. Если % — фильтр Коши, а фильтр ® сходится к е, то фильтр З'ЧЩ' сходится к е. При этом под подразумевается фильтр, который состоит из множеств А \ А из $•
Доказательство. Пусть х и х' принадлежат некоторому множеству А фильтра ^ и у принадлежит некоторому множеству В фильтра ©, так что при подходяще выбранном В элемент у оказывается элементом произвольно малой окрестности V точки е. Имеем
Х'Лух' = х1ух-х~1х'. (3)
В силу леммы множество х 1Ух при подходяще выбранных окрестности V и множестве А принадлежит сколь угодно малой окрестности II точки е. Следовательно, произведение (3) принадлежит и и, а потому содержится в сколь угодно малой окрестности точки е.
Задача 1. Множества А, содержащие единицу е, составляют некоторый фильтр Коши (5. Он является единичным элементом относительно умножения фильтров: (53=3(5=3 для всех 3.
Как и § 166, мы должны сейчас ввести аксиому сильной пополняемости С К, являющуюся аналогом ТС3:
йК. Если % — фильтр Коши, то и (Г1 — фильтр Коши.
Эго означает следующее: если произведения х~1у (х и у из А е 8) лежат в сколь угодно малой окрестности точки е, то и произведения ух 1 лежат в сколь угодно малой окрестности точки е. В случае абелевых групп это утверждение тривиально.
Фильтры Коши относительно умножения образуют некоторую полугруппу в том смысле, что здесь оказываются выполненными первые три аксиомы группы из § 6. В общем случае аксиома 4 не выполняется. Несмотря на то, что для каждого фильтра Коши % существует фильтр Коши З"1, произведение в большинстве
случаев не равно (?.
Обозначим полугруппу фильтров Коши в б через С. Превратим С в топологическое пространство, определив базис окрестностей 0 единичного элемента (?, сопоставляя каждой окрестности
600
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. XX
и единицы е из О базисную окрестность 0 следующим образом: и состоит из всех тех фильтров которые содержат по крайней мере одно множество А Е и.
