Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 231

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 225 226 227 228 229 230 < 231 > 232 233 234 235 236 237 .. 247 >> Следующая

Для того чтобы группа б могла быть расширена до некоторой слабо полной топологической группы, необходимо, чтобы имела место следующая аксиома слабой пополняемое! и:
ТС3. Если {хД — произвольная фундаментальная последовательность, то и {х^1} — фундаментальная последовательность.
В абелевой группе аксиома ТС3 выполнена автоматически, потому что если Хц ‘ху принадлежит V, то и
X уХд - Хц Ху
принадлежит II. В общем же случае аксиома ТС3 не является следствием остальных аксиом.
Из I п ТС3 немедленно следует, что фундаментальные после-
§ 166]
ПОПОЛНЕНИЕ ГРУПП
593
довательности образуют некоторую группу F. Единичным элементом этой группы F является последовательность {е}.
Превратим теперь группу F в топологическую, определив базисные окрестности U единичного элемента {е} следующим образом: ? состоит из фундаментальных последовательностей {хД, элементы которых при достаточно больших v принадлежат V.
Эти окрестности U удовлетворяют требованиям Ej — Еъ (§ 163). Для Ех — Е3 и Е5 это само собой очевидно, а Е4 — это в точности доказанная выше лемма: если { хД— фундаментальная последовательность, то существует окрестность V такая, что
или ЕехД/хД
для достаточно больших р.
Итак, F — топологическая группа. В этой группе последовательности, сходящиеся ке, составляют подгруппу, которая в силу II является даже некоторой нормальной подгруппой N. Докажем теперь, что подгруппа N замкнута в F.
Если фундаментальная последовательность {хД не принадлежит N, т. е. не сходится к е, то существует некоторая окрестность U, которая не содержит почти всех элементов данной последовательности. Согласно Ех и Е3 существует такая окрестность Е, что
ЕЕ"1 s U.
Эта окрестность Е определяет некоторую окрестность F в f, состоящую из всех фундаментальных последовательностей {г/Д, почти все элементы которых принадлежат Е. Мы утверждаем теперь, что окрестность {хД Е последовательности {хД в F полностью содержится в дополнении к IV в группе F.
Действительно, иначе {хД V содержала бы фундаментальную последовательность
{.тД {рД = =
принадлежащую N, где почти все лежат в Е и {гД сходится
к е. Но тогда почти все z^ лежат в V, и почти все элементы
% = адд
принадлежат ЕЕ'1, а потому и окрестности U, что противоречит определению окрестности U. Следовательно, {хД Е и N не имеют общих элементов.
Таким образом, дополнение к N в F является открытым множеством, т. е. N — замкнутое множество в F. Отсюда в силу § 164 следует, что F/N является Ti-группой.
Внутри группы F фундаментальные последовательности {а}, состоящие из одного и того же элемента а, составляют некоторую подгруппу G', топологически изоморфную данной группе G.
594
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
|ГЛ XX
В силу аксиомы отделимости Тх эта подгруппа имеет только один общий с N элемент {Д. Мы можем отождествить постоянные последовательности {а} с элементами а и тем самым группу G с группой G'. Если теперь построить смежные классы по N, то G' перейдет в некоторую факторгруппу G", которая является подгруппой в F/N и, следовательно, некоторой Т-группой. Эта T-группа топологически изоморфна G', а потому и G, и поэтому вновь может быть отождествлена с G.
Положим F/N = G. Группа G вложена в Тггруппу G. Докажем прежде всего следующее:
III. Если фундаментальная последовательность {хД определяет элемент х из G, то
Пшд:11 = х. (2)
Доказательство. Фундаментальная последовательность {хД, как элемент группы F, будет обозначаться через х. При гомоморфизме, который отображает F на F/N = G, элемент х переходит в элемент х. Это отображение непрерывно, поэтому (2) будет доказано, как только будет доказано соответствующее соотношение в F:
Umxll = x в F. (3)
Соотношение (3) означает, что х 1х11 принадлежит ? для достаточно больших р или, согласно определению окрестности U, хДх^ принадлежит U для достаточно больших р и v.
Но это очевидно, потому что {хД —фундаментальная последовательность.
Теперь мы можем доказать основную теорему:
IV. Группа G слабо полна.
Доказательство совершенно аналогично проведенному в § 78 доказательству для случая вещественных чисел. Пусть {хъ х2, ...} — некоторая последовательность элементов из G, удовлетворяющая условию Коши:
хДХу е V для р5^т и v^=m.
Выберем счетный базис {Uu U2, ...} окрестностей точки е в группе G. Для каждой окрестности UK выберем окрестность Vх такую, что
У\1У У г.—
Мы можем, кроме того, считать, что
= Г2э У3э...
Окрестности V% определяют окрестности в F, а эти в свою очередь — окрестности в G. Каждый элемент хм является, согласно III, пределом некоторой последовательности элементов
§ 167] фильтры 595
из б; следовательно, для Хц мы можем выбрать такой у^ из б, что
V».
Покажем, что элементы уй составляют фундаментальную последовательность. Имеем
Уц Ух — (Уи'^и) (^н Х-х) {%х'Ух) ^ VV (4)
Для каждого Я существует такое т Дэ Я, что
х^%еУл для р-З^/п,
Из (4) для и ч^т^к теперь следует, что
т. е. у»Ух ^ иСледовательно, у^ составляют некоторую фундаментальную последовательность в группе б. Эта последовательность определяет некоторый элемент у из б и, согласно III, имеет своим пределом у. Элементы х^ имеют тот же самый предел, потому что
Предыдущая << 1 .. 225 226 227 228 229 230 < 231 > 232 233 234 235 236 237 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed