Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 234

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 228 229 230 231 232 233 < 234 > 235 236 237 238 239 240 .. 247 >> Следующая

Определенные таким образом базисные окрестности 0 удовлетворяют требованиям Е4 — Е5 § 163. Для Е4 —Е3 и Е6 это утверждение тривиально, а для доказательства Е4 нужно воспользоваться леммой.
Задача 2. Доказать свойство Е4.
Задача 3. Фильтрами, сходящимися к е, являются в точности те фильтры, которые лежат во всех окрестностях 0?
С помощью окрестностей 0, так же как и в § 163, построим сдвинутые окрестности %0. Тем самым б станет топологическим пространством. Взятие произведения 5© и элемента непрерывны в смысле этой топологии; следовательно, можно рассматривать б как топологическую полугруппу. Аксиома отделимости Т4 в общем случае для построенного объекта не выполнена (см. задачу 3).
Фильтры, сходящиеся к е, образуют в б некоторую подполугруппу N. В силу II подполугруппа N является нормальной в том смысле, что
Е N для всех 3-
Свойства полугрупп б и N вместе с очевидным свойством
Г1^ е N позволяют построить факторгруппу
б/Й = б.
Для этого нужно лишь еще раз просмотреть конструкцию факторгруппы из § 10 и заметить, что свойство а 1а = е (т. е. в нашем случае как таковое вовсе не нужно: нужно лишь, чтобы
3-13 е АС Факторгруппа является, таким образом, настоящей группой: в ней каждый элемент обладает настоящим обратным. Так же, как в § 164, усматривается, что факторгруппа б/Ы является топологической. Полугруппа б отображается с помощью непрерывного гомоморфизма на б/Ы = б.
Согласно задаче 3 полугруппа N состоит в точности из тех фильтров 3. которые не отделимы от единичного элемента (? группы б. Согласно § 163 полугруппа N замкнута и, следовательно, б = б!Ы является Т4-группой.
Каждый элемент х из б определяет некоторый фильтр %х, состоящий из множеств А, содержащих х.
§ 168]
ПОПОЛНЕНИЕ ГРУППЫ С ПОМОЩЬЮ ФИЛЬТРОВ КОШИ
601
Этот фильтр содержит множество {х}, а потому является фильтром Коши. Таким образом, каждому элементу х группы G соответствует некоторый элемент х =%х полугруппы G. Отображение xi—? х является непрерывным, причем произведению соответствует произведение. Гомоморфизм G-k-G сопоставляет элементу х некоторый образ х. Следовательно, получается цепь непрерывных гомоморфизмов
xi—*xi—*x. (4)
Если два элемента х и у неотделимы друг от друга в G, то они имеют один и тот же образ х в G, и наоборот.
Начиная с этого места, пусть G —некоторая TVrpynna. Тогда любые два различных элемента х и у отделимы и, следовательно, отображение xi—*х взаимно однозначно. Таким образом, группа G вкладывается в G.
Пусть 33—некоторый базис фильтра Коши в G. Так как G
погружается в G, можно рассматривать 33 и как базис фильтра
в С. С другой стороны, базис 33 порождает в G некоторый фильтр Коши g. При гомоморфизме G-^G ему соответствует некоторый элемент а из G. Мы утверждаем теперь следующее:
III. Базис фильтра 33 сходится к а.
Доказательство. В соответствии с определением базиса фильтра Коши для каждой окрестности U точки е существует некоторое множество А из 33 такое, что
у~гх^и для всех х и у из А.
Это можно записать и так: A~lx<^U для всех геФ
Множество А 1 принадлежит фильтру g-1, а множество {х} — фильтру х, так что произведение %~гх содержит множество АЛ{х}^ Е U. Это означает, согласно определению окрестности О в G, что для всех rei
Перейдем теперь с помощью непрерывного гомоморфизма из G в G; тогда получится включение a 'i е 0, так что х е aU.
Мы отождествили х с х, а потому x^aU для всех х ^ А, т. е J s aU.
Таким образом, в базисе фильтра 33 существуют множества А, которые содержатся в сколь угодно малых окрестностях ah точки а, т. е. 33 сходится к а. Тем самым доказано III.
Так как в каждой окрестности точки а лежит некоторое непустое множество А, то в каждой окрестности точки а находятся некоторые точки из G. Это означает, что
Группа G плотна в G.
602
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
|ГЛ XX
Отсюда и из III в силу последней теоремы § 167 следует, что:
IV. Группа G является сильно полной.
Задача 4. Если в G имеет место первая аксиома счетности, то она справедлива и в С. Каждый элемент из G является в этом случае пределом некоторой последовательности {xv} из G, и слабое пополнение группы G в соответствии с § 166 дает то же самое, что и сильное пополнение в соответствии с § 168.
§ 169. Топологические векторные пространства
Топологический модуль (или Т-модуль) М — это аддитивная абелева Т-группа. Согласно § 163 топология на М определяется некоторой системой окрестностей нуля, удовлетворяющей условиям 1, 2, 3 (§ 163, конец).
Понятия из §§ 166 и 168 переносятся на аддитивные Т-груп-пы с помощью соответствующего изменения символики. Последовательность {ху} называется фундаментальной, если разности х^ — Ху для достаточно больших ц и v принадлежат каждой окрестности V нуля. Множество А называется малым порядка V, если разности у — х (х е А, у е А) все принадлежат V. Фильтр, содержащий произвольно малые множества, называется фильтром Коши. Модуль М называется сильно полным или престо полным, если в нем сходится каждый фильтр Коши.
Так как для коммутативных групп, в соответствии с § 168, не нужна аксиома полноты, каждый Ту модуль М погружается в некоторый полный Т,-модуль М.
Предыдущая << 1 .. 228 229 230 231 232 233 < 234 > 235 236 237 238 239 240 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed