Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
uUk... = uiujuk_ (i<j<k),
причем произведение пустого множества будет обозначаться через е. Эти 2п произведений мы возьмем в качестве базисных элементов некоторого векторного пространства 31. Тем самым, элементами пространства 31 являются суммы
еСС-\- Ufoi -f- . . . -j- _ я^12 ... п‘ (4)
? ? < /
Теперь определим произвольные произведения
Uabc ... UaUfyUc. . . (5)
следующим образом. Если в (5) два индекса равны, то положим Uabc...~Q- Если же все индексы различны, то некоторой перестановкой они приводятся в естественный порядок ijk ... и мы полагаем
Uabc..." &Uljk...»
где е = —J—1 для четной и е = —1—для нечетной упомянутой выше перестановки.
Наконец, произведение двух базисных элементов определяется равенством
^ijk .. Мряг •.. = Муь ... pqr ... • (6)
Две суммы вида (4) перемножаются путем перемножения их слагаемых и последующего сложения результатов. Согласно этому определению произведение иаиь... равно на самом деле ыл&...»
ПРИМЕРЫ АЛГЕБР
337
как утверждается в (5). Очевидно, правила (3) выполняются. Ассоциативность умножения легко доказать.
Суммы (4) с так определенным умножением составляют грассманову алгебру 91 (или алгебру Грассмана) над векторным пространством ЭЛ; само же умножение называется внешним. Векторное пространство ЭЛ вкладывается в алгебру 91. В качестве знака для внешнего умножения элементов а и Ь часто используют символ а[\Ь.
Эквивалентное определение получается, когда из векторного пространства сначала строят тензорное кольцо, состоящее из всевозможных конечных сумм
в которых на индексы /, ... не накладывается никаких ограничений. Две такие суммы объявляются равными лишь тогда, когда равны (соответственно) все их коэффициенты. Как складывать такие суммы, понятно. Умножение же определяется равенством (6).
Легко увидеть, что сложение и умножение в тензорном кольце не зависят от выбора базисных векторов.
Возьмем теперь в тензорном кольце X двусторонний идеал 3, который порождается произведениями ии, где и пробегает множество всех векторов пространства ©{. Идеалу 3 принадлежат также и элементы вида
(и + н) (и V) — ии — 00 — ии ои.
Если каждой сумме (7) сопоставить ту же сумму в 91, то получится гомоморфное отображение из Т на 91. Элементы идеала 3 при этом отображении переходят в нуль. Обратно: если какая-либо сумма (7) переходит при указанном отображении в нуль, то она принадлежит идеалу 3. Действительно, сумму (7) можно сначала записать в виде
еР + 2 + 2 , (8)
а затем с помощью прибавления элементов из 3 привести к нормальной форме
еа + 2«г^+2 2
I I< / ' <I<к
которой соответствует элемент (4) из ?( с теми же коэффициентами а, а,-, ац, ... Если этот элемент равен нулю, то равны нулю и все его коэффициенты, а потому сумма (8) лежит в 3. Тем самым идеал 3 является ядром гомоморфизма колец X —^ 91 и имеет место изоморфизм
219^5/3. (9)
В правой части соотношения (9) кольцо X и идеал 3 не зависят от выбора
базиса «!, ... , ип. Следовательно, алгебра 9( с точностью до изоморфизма не
зависит от выбора базиса. Инвариантное определение грассмановой алгебры 91 получается как раз тогда когда она определяется как Т/3.
5. Алгебры Клиффорда. Они могут быть определены аналогично алгебрам Грассмана. Пусть (2 (х) — квадратичная форма от переменных X], ..., хп с коэффициентами из поля Р:
<2(хъ ..., *„) = 2! ц,х\4-2 УцХ^^
I К/
338 АЛГЕБРЫ [ГЛ XIII
Тогда для каждого вектора пространства ЭЛ опре-
делено значение формы
<2 (и) = <2 (Тх. •••. Уп)-
Кроме того, для любых двух векторов и и V определена билинейная симметрическая форма
В (и, v) = Q{u + v)-Q(u)-Q{v).
В частности,
<2 («;) = Яь В («,, и,) = В (ыу, щ) = Яч (I < /).
Определим теперь умножение векторов так, чтобы выполнялись равенства:
ии — (^(и), (10)
ш) -ф ни = В (и, V). (11)
В этом случае (11) является следствием (10): ио + VII = («-)-?/) (« -ф ?7) — ии — 1’и =
= <2 («-ф о) - <2 («) - <2 (у) = в (и, у).
Таким образом, в частности,
ИА = <7ь (12)
щщ -ф и,щ = (П/ (г < /). (13)
Построим вновь 2"-мерное векторное пространство, состоящее из сумм
во. т~ 2] ^12... л*^12... о^)
г < < /
Затем определим произвольные произведения
иаЫ/)ис... ^аЬс... • 0^)
Если индексы а, Ь, с ... различны и расположены в естественном порядке, то вектор иаьг... определяется как базисный век-
тор Щ]к". . Во всех остальных случаях произведение иаиьис... преобразуется с помощью соотношений (12) и (13). Если, например, Ьс — первая пара расположенных друг за другом индексов,
для которых не выполнено условие Ь<.с, то запишем произве-
дение (15) в виде
{Ць^с) • • •
и заменим иьис в соответствии с (12) и (13) одной из формул: иьиь = Яь (С = Ь),
Иь^с= иси.ь -|- ЯсЬ (с<Ь).
§ 93] ПРИМЕРЫ АЛГЕБР 339
Множители qb и qcb ставятся перед произведением. Получаем иа (иьиь) ... — qbua ...,
Ub (иьис) ... - иаисиь ... -]- qcbua • • •
После такого преобразования в произведении будет меньше или на два множителя, или на одну инверсию. Продолжая таким образом, мы в конце концов получим некоторое выражение вида (14).
После того, как объяснены символы иаЬс_ , можно определить произведение двух базисных элементов снова с помощью (6) и доказать ассоциативность умножения. Тем самым полностью определена клиффордова алгебра (или алгебра Клиффорда) (? формы Q(x). Если форма Q нулевая, то алгебра Клиффорда становится грассмановой алгеброй. Если в (14) ограничиться членами с четным числом индексов:
