Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Интересные соотношения между произведениями выполняются для полных матричных колец. Символ Зф будет обозначать кольцо всех матриц г-го порядка с коэффициентами из кольца 31. Тогда
Для доказательства изоморфизма (8) нужно лишь заметить, что определенные в § 93 матрицы С1к образуют базис в Рг. Чтобы осуществить требуемое отображение алгебры 31 хР,-, нужно в качестве базисных взять те же самые элементы, но в качестве области коэффициентов кольцо 31. Тогда получится в точности алгебра Зф.
Изоморфизм (9) получается так. Алгебра Рг порождается г2 базисными элементами С\*, а алгебра Р* порождается в2 базисными элементами С"ц\ поэтому Р^хР* порождается г^2 произведениями
Если множество, состоящее из гэ пар г/, занумеровать индексами J, пробегающими значения от 1 до гв, то получится соотношение
откуда и усматривается нужный изоморфизм с Р„.
3. Скрещенные произведения. Пусть 2 —сепарабельное нормальное конечное расширение поля Р. Группа Галуа © расширения 2 (§ 57) состоит из автоморфизмов поля 2, оставляющих неподвижными все элементы поля Р. Мы не предполагаем здесь известной теорию Галуа, а лишь содержание § 57 и, в частности, тот факт, что порядок группы © равен степени расширения
Символом р5 обозначим элемент, получающийся из элемента Р поля 2 применением автоморфизма 5.
Произведение автоморфизмов 5 и Т (сначала 5, а потом Т) на этот раз будет обозначаться через ЭТ и, таким образом,
31хРгхдЗ(,
(8)
(9)
Рг X Р* Р„
удовлетворяющими правилами:
О, если кфт или 1фп,
„0, если й — т и 1 — п.
и = (2 : Р).
р^г = (р5)г.
Введенное Э. Нётер скрещенное произведение поля 2 с его группой Галуа © определяется следующим образом: сначала
§ 94] ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СКРЕЩЕННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 343
строится векторное пространство
21 = их 2 4-... 4- ипЕ,
в котором каждому элементу группы соответствует базисный
вектор щ. Если символ 5г заменить на символ 5, удалив индекс,
то соответствующий элемент щ будет обозначаться через и$• Таким образом, векторное пространство 21 состоит из сумм
= Ря- (Ю)
і 5
Затем определяются произведения Риз по формуле
Р«5 = «5р5 (И)
И Произведения «5«/- по формуле
и8ит = «57-65, т, (12)
где множители б5, г являются заданными с самого начала элементами поля Е, не равными нулю.
С помощью (11) и (12) можно перемножать любые суммы (10), осуществляя умножение отдельных слагаемых по формуле
• иту = и5итрту = «57-65, трт V.
и затем складывая полученные произведения.
Чтобы введенное с помощью системы факторов 65, Т умножение было ассоциативным, элементы 65, т должны удовлетворять условию ассоциативности
65, 77?6Г, Н — дет, /? (65, г)Л • (13)
В выборе базисных элементов и8 и факторов б5, т существует некоторый произвол; именно, элементы «5 можно заменить на элементы
ив^изуз {уз=?0, Ув^Я)- (14)
Соответствующая этому новому базису система факторов выглядит так:
Т-—-----65, т• (1о)
Увт
Две системы факторов 65, т и е$, т, связанные друг с другом соотношением (15), называются ассоциированными. Таким образом, ассоциированные системы факторов определяют одну и ту же алгебру 21.
Пусть Е — единичный элемент группы бі. Тогла можно подобрать множитель при элементе ив так, чтобы было
«?'«? = «?,
344
АЛГЕБРЫ
[ГЛ XIII
и, таким образом, выполнялось равенство 6?, л=1- Из законов ассоциативности
(«?«?') Нц — «? (М?И?),
«5 («?М?) = (^Мд) И?
теперь следует, что «? — единичный элемент алгебры ?1. Следовательно, произведения ы?р можно отождествить с элементами р поля 2.
Каковы те элементы с = ~^]и$уз, которые перестановочны со всеми элементами р поля 2? Условие Рс = сР дает равенство
отсюда в силу линейной независимости элементов %
(Р5-Р)75 = о.
Для 5 = 1 это условие выполняется автоматически. Для 5 Ф 1 существует такой элемент р, что р5 Ф Р; поэтому 75 = 0. Тем самым,
с = ЧеУе = Уе
является элементом поля 2.
Отсюда следует утверждение: поле 2 является максимальным коммутативным подкольцом алгебры ?(.
Определим теперь центр кольца У, т. е. множество элементов с алгебры ?(, перестановочных со всеми элементами из ?(:
ас = са для всех а.
Если с —элемент центра, то с перестановочен, прежде всего, со всеми элементами поля 2, а потому содержится в 2. Поэтому можно положить с = у. Так как у перестановочен со всеми базисными элементами и5, элемент у должен оставаться неподвижным при всех автоморфизмах 5 в соответствии с (11). Согласно последней теореме из § 57 это может быть только тогда, когда у лежит в основном поле Р. Мы получили предложение:
Центром алгебры ?( является поле Р.
Алгебры над полем Р, центр которых совпадает с Р, называются центральными над Р. Раньше их называли «нормальными», но теперь это слово имеет слишком много значений.
Далее мы докажем следующее утверждение:
Если в каком-либо кольце, содержащем поле 2, выполняются соотношения (11) и (12) с 8я,гф0, то элементы и5 либо все равны нулю, либо линейны независимы над 2.
Доказательство. Если бы один из элементов и$ был линейно зависим от остальных уже известных элементов иТ, то
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СКРЕЩЕННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
345
для данного 5 имело бы место равенство
