Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
2. Лиевы кольца — кольца, в которых выполняются следующие правила:
ab-{-ba = О, а ? Ьс + b ? са + с ? ab = 0.
Инфинитезимальные порождающие групп Ли подчиняются этим правилам. Кольца Ли (лиевы кольца) исследовались в фундаментальных работах Картана2) и Г. Вейля3) в связи с теорией
9 Му фан г (Moufang R.). Alternativk?rper und Satz vom vollst?ndigen Vierseit. — Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1933, 9, S. 207; см. также Math. Ann., 110, S. 416 и Фрейденталь (Freudenthal H.). Zur ebenen Oktavengeometrie.—Proc. Akad. Amsterdam, 1953, A56, p. 195; A57, p. 218, 363;
A58, p. 151.
2) Cartan E. Th?se. —1894. В этой же связи см. Фрейденталь (Freudenthal H.).—Proc. Akad. Amsterdam, 1953, A56.
a) Weyl H. Darstellung halbeinfacher Gruppen durch lineare Transformationen, I—III.—Math. Z., 1925, 23, S. 271; 1926, 24, S. 328, 789. В этой же связи см, ван дер Варден (van der Waerden В. L.) —Math. Z., 37, S. 446.
ПРЯМЫЕ СУММЫ И ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
331
группы Ли. По поводу новых исследований в этой области см. следующую литературу:
Витт (Witt E.) —J. reine anges. Math., 1937, 177, S. 152; Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1941, 14, S. 289.
Фрейденталь (Freudenthal H.). —Proc. Akad. Amsterdam, 1954, A57, p. 369, 487; 1956, A59, p. 511; 1958, A61, p. 379.
В этой книге мы ограничимся ассоциативными алгебрами конечной размерности над полем Р. Слово алгебра будет отныне употребляться в этом узком смысле.
§ 92. Прямые суммы и пересечения
В своих лекциях Эмми Нётер всегда подчеркивала важность связи между прямыми суммами и пересечениями модулей. Эта идея проходит красной нитью через все ее творчество. Сейчас мы разъясним эту связь, начав с мультипликативных групп и перейдя затем к аддитивной форме записи.
Пусть группа О является прямым произведением подгрупп 9!ь ..., ?(„. Это означает, что:
1) каждая подгруппа 91; нормальна в (53;
2) произведение подгрупп 911( ..., 9(л равно ©;
3) если 53; — произведение всех 91;, за исключением 31,-, то
«,n»i = e,
где © состоит из одного лишь единичного элемента.
В силу § 53 из 1), 2), 3) следует, что каждый элемент g группы О однозначно представляется в виде произведения ах ... ... ап (?; е 51;) и для i Ф / каждый элемент подгруппы 51; перестановочен с каждым элементом подгруппы 51;. Из 2) следует далее, что
ад=®.
Группа 53( состоит из произведений ах ... ап, в которых множитель at равен е. Отсюда следует, что пересечение всех подгрупп 53,- равно (г и пересечение всех 93; с / Ф1 равно 51;. Тем самым подгруппы 53; обладают следующими тремя свойствами, до некоторой степени двойственными свойствам 1), 2), 3):
1') каждая подгруппа 53,- является нормальной в ©;
2') пересечение 53х П • • • П равно ©;
3') если 51, — пересечение всех подгрупп 53;, кроме 53;, то
51;53; = ®. (1)
Если выполняются свойства 1'), 2'), 3'), то единичная подгруппа © называется прямым пересечением подгрупп 53х, ..., 53„. Если в 2') вместо © стоит другая группа D, а 1') и 3') остаются неизменными, то Т) называется прямым пересечением подгрупп
332 АЛГЕБРЫ [ГЛ. XIII
Д, ..., Д,. Этот общий случай без труда сводится к случаю $> = ? введением факторгрупп ©/Х> и Д/Г.
Докажем теперь 1), 2), 3), исходя из Г), 2'), 3'). Если опре-
делить подгруппы с помощью 3'), то из 2') будет следовать
ДПД = ®- (2)
Подгруппы 91/, являясь пересечениями нормальных подгрупп, сами являются нормальными в ©. Покажем, что их произведение равно © и произведение всех Д, за исключением 2(,, равно Д.
Пусть g — произвольный элемент из ©. В силу (1) и (2)
группа © является прямым произведением подгрупп Д и 25,-,
так что § однозначно представляется в виде
? = аД (а; <= Д, Д <= 33;).
Далее, каждый элемент подгруппы 91/ перестановочен с каждым элементом подгруппы Д и, в частности, с каждым элементом подгруппы (/ Ф 0- Составим произведение
^=а1 ... а„.
Тогда
= Ьт'сц'а 1 ...ап.
В силу перестановочности элементов а;- последнее выражение можно записать так:
ё гё' = Ьт'сь. 0-1 Ац...а„.
Все сомножители справа лежат в подгруппе Д, в силу чего g-1g' лежит в Д при любом I. В силу 2') отсюда следует, что
ё~гё’ = е,
так что ц' — g. Следовательно, каждый элемент g группы © представляется произведением а1 ... ап. Если элемент g лежит в подгруппе Д, то сомножитель а{ равен е, и поэтому каждый элемент подгруппы Д представляется в виде
А/ . . . й[ : _[ . . . й„.
Отсюда следует, что произведение всех подгрупп Д равно ©, а произведение всех подгрупп Д, за исключением Д^ равно Д. Следовательно, подгруппы 21,- обладают свойствами 1), 2), 3).
Из (1) и (2), в соответствии с первой теоремой об изоморфизме, следует, что
@/Д^Д.
В аддитивной записи все доказанное можно сформулировать так:
Если модуль © является прямой суммой подмодулей Д, ..., Д и Д — сумма всех Д, за исключением 21,?, то подмодуль {0}
ПРЯМЫЕ СУММЫ И ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
333
является прямым пересечением подмодулей 33х, ..., 93„, а 21; является пересечением всех Щ, за исключением 23;. Верно и обратное. Наконец, имеет место изоморфизм @/23;^21г.
Все сказанное имеет место и для групп с операторами. В приложениях к теории колец © является кольцом, для которого © служит областью левых или правых операторов. Модули 2(; и 23; становятся в этом случае левыми или правыми идеалами в ©. Таким образом, нам предстоит иметь дело с некоторым представлением кольца © прямой суммой левых или правых идеалов Щ и с соответствующим представлением нулевого идеала прямым пересечением левых или правых идеалов 23;. Мы сохраним теоретико-групповые обозначения, потому что каждое кольцо будет рассматриваться как аддитивная группа, для которой само это кольцо служит областью операторов.
