Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 131

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 133 134 135 136 137 .. 247 >> Следующая

Если 21; (и также 23;) являются двусторонними идеалами, то произведение 'ЛрДу содержится как в 2(г так и в Щ. Однако для 1ф] пересечение 2(;П21у является нулевым идеалом, в силу чего 23г21у = {0}. Следовательно,
Если кольцо © является прямой суммой двусторонних идеалов Л,-,
@ = ах + ... + 2(в, (3)
то Л; являются кольцами, аннулирующими друг друга:
Л;Л, = {0}, 1фр (4)
Обратно: если кольцо ©, рассматриваемое как аддитивная группа, является прямой суммой колец Л,, аннулирующих друг друга, то кольца 21; являются двусторонними идеалами в ©. Доказательство очевидно. В этом случае говорят, что кольцо © (или, в частности, алгебра ©) является прямой суммой колец (или алгебр) Л;.
Если имеют место (3) и (4), то строение кольца © легко выясняется через строение колец Л?. Именно, если g И /I —элементы кольца, представленные с помощью (3) и (4) в виде
g=gl + ??? + gn,
/г = /гх + .. . + /гл,
то
? + Л = (й + Лх) + ... + (§„ + й„),
+ёпК,
т. е. сложение и умножение происходит покомпонентно.
Задача. Если кольцо @ с единицей задается прямой суммой левых идеалов
0 = (х + ... + 1л, (5)
а разложение единицы задается равенством
е — е1 + ,.. + еп,
(6)
334
АЛГЕБРЫ
[ГЛ. XIII
е1е! = 0, 1ф1.
Наоборот, если выполнены (6), (7), (8) и определены
I; = @е1,
то & задается прямой суммой левых идеалов 1*.
Если, равным образом, определить
г/ = е1&,
то кольцо @ окажется прямой суммой правых идеалов г
(7)
(8)
(9)
(10)
§ 93. Примеры алгебр
1. Важным примером алгебры является полное матричное кольцо Р„, состоящее из всех «-строчных квадратных матриц с элементами из поля Р. Эта алгебра имеет ранг я2. В качестве базисных элементов можно выбрать матрицы С,*, в которых на пересечении 1-й строки и й-го столбца стоит 1, а на остальных местах нули. Каждая матрица А с элементами аш представляется в виде суммы
в которой суммирование ведется по всем і и А, принимающим значения от 1 до п. Правила умножения для базисных элементов Сік таковы:
2. Алгебра кватернионов. Пусть 31 — четырехмерное векторное пространство с базисными элементами е, /, к, I. Будем считать, что е является единицей, т. е. е2 = е, е/ = / и т. д. Зададим далее равенства
Получившаяся алгебра 31 называется алгеброй обобщенных кватернионов. Ее элементы выглядят так:
х = ехи + Й1 + кхг + 1х3 {х0, хи х2, х3 еР),
/а = — еа, к2 =— где а и Р — произвольные элементы поля Р, и
]к = — к\ = I.
Тогда
/2 = }к]к = — //&& = — еаР,
/I = /= — еай = — ка, // = — кЦ = -\- кеа = ка, Ш = — кк} — + еР/ = /Р, 1к — /кк = —/ер = —/р.
ПРИМЕРЫ АЛГЕБР
335
Само собой разумеется, что элементы ех0 и х0 отождествляются; таким образом, поле Р оказывается вложенным в алгебру 'Л. Норма произвольного элемента х определяется равенством
N (х) — хх — (ех0 + іхі + кхг + 1хз) (ех0 — /ду — Их2 — 1х3) =
— Х3 -ф СХХ\ -{- (З.Х2 "ф 0$Х3'
Если эта квадратичная форма представляет нуль (т. е. обращается в нуль на таких хі, которые не равны нулю одновременно), то произведение хх может быть нулем при хфО, а Л може.т обладать делителями нуля. Если же упомянутая форма не представляет нуля, то каждый хфО обладает обратным:
л: 1 = х (хі -ф ах\ -ф $хі -ф арх*)-1,
и, следовательно, алгебра Л является телом.
Матричное представление алгебры обобщенных кватернионов Л получается тогда, когда Л рассматривается как двойной модуль, для которого Л служит областью левых, а 2 = Р (/) — областью правых мультипликаторов. Будем считать, что —а не является квадратом в поле Р; тогда
3 = Р(/) = Р(/-Г?)
— поле. Алгебра Л является двумерным векторным пространством над этим полем; в качестве базисных элементов можно взять, например, е и - А. Векторы х представляются тогда так:
х = е(х0 + іх!) + (-?)( — хг + }х3). (1)
Если эти векторы х умножать справа на произвольный элемент у, то получится линейное преобразование У векторного пространства Л, которое представляется некоторой матрицей. Эту матрицу мы также обозначим через У. Ее столбцы получатся, если умножить базисные элементы е и — /г слева на у и результаты снова записать в виде (1). Если, в частности, в качестве у взять /, /г или I, то получатся матрицы
/ 0 І, /( = 0 р , А = |0 /р
0 _/ — 1 0 1/ 0
Если теперь выбрать а = (3 = 1, то получатся гамильтоновы кватернионы
х = еХц -ф /ту -ф кх2 -ф 1х3
с правилами оперирования:
/2 = Л:2 = г2 = — 1,
/А = /, &/ — —
Ы — /, Ш = —/',
// = /г, /7 =— /г.
336 АЛГЕБРЫ [ГЛ. XIII
Если Р — вещественное числовое поле, то в матричном представлении элемент / можно заменить на мнимую единицу Е Тогда получится:
0 1 0 i
-1 0 , L — i 0
3. Если в качестве базисных элементов алгебры взять все элементы конечной группы щ, ..., ип, то получится групповое кольцо этой конечной группы. Очевидно, здесь будет выполнен закон ассоциативности.
4. Грассманово внешнее умножение. Будем исходить из векторного пространства
ЗР? = ЫхР —f-... —f— ипР
и зададимся следующей целью: определить ассоциативное умножение векторов, для которого выполнялись бы правила:
ии = 0 и uv-\-vu = 0. (3)
Для этого чисто формально образуем сначала произведения базисных векторов ut в естественной последовательности
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 133 134 135 136 137 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed