Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
еа 2 Uijaij zC uijklaijUl + • • • >
Kl i<i<k<l
то получится подалгебра, называемая второй алгеброй Клиффорда й+.
Инвариантное определение алгебры 6 получается так: возьмем в тензорном кольце $ двусторонний идеал 3, порожденный выражениями
uti-Q(u),
и построим кольцо классов вычетов %?. Отправляясь от этого определения, Шевалле1) развил теорию алгебр Клиффорда над произвольным основным полем. Простое доказательство того, что инвариантное определение совпадает с данным выше, можно найти в работе: ван дер Варден (van der Waer-den В. L.).—Proc. Kon. Ned. Akad. Amsterdam, 69, S. 78.
Вторая алгебра Клиффорда была использована Брауэром и Вейлем (Brouwer L. E. J., Weil Н.—Amer. J. Math., 57, p. 245) для доказательства того, что ортогональные преобразования (т. е. линейные преобразования Т с определителем 1, оставляющие инвариантной данную квадратичную форму Q) представляются в виде
Tu = sus-1.
Здесь и пробегает векторное пространство ЗД, a s —элемент алгебры @+, переводящий пространство t?t в себя:
s2J?s-i=tm.
В данном случае необходимо предполагать, что характеристика поля Р отлична от 2, а форма Q неособая. Для случая характеристики 2 рассмотрения несколько сложнее (см. книгу Шевалле, теорема II 3.3).
Задача 1. Вторая алгебра Клиффорда бинарной квадратичной формы
Q (М. Ч) = qi*? + <712*1*2 + <72*!.
не разлагающейся в поле Р на линейные множители, является расширением основного поля, в котором данная форма разлагается.
<) Chevalley С, The algebraic theory of spinors,—Columbia Univ. Press, 1954.
340 АЛГЕБРЫ [ГЛ. XIII
Задача 2. Вторая клиффордова алгебра тернарной квадратичной формы <2 (АД, <]2Х2~\~ Чзх1
является алгеброй обобщенных кватернионов.
§ 94. Произведения и скрещенные произведения
1. Произведение векторных пространств. Пусть 51 и 23 — конечномерные векторные пространства над полем Р:
2(= нхР + итР,
Д = ц1Р +... +у„Р.
Определим произведение 21 хД. Для этой цели построим пространство-произведение, натянутое на тп базисных векторов ы)ц„ где г пробегает значения от 1 до т, а & пробегает значения от 1 до п:
® = 2 ЩнР,
I, /г
и определим для каждого и из 21 и для каждого V из 23 произведение:
ио = ща,-) (2 УаР*) = 2
1, к
В частности, тогда
и<ок = ш1к.
Таким образом, все элементы пространства й имеют вид
® = 2 щику1к = 2 (1)
I, к 1, к
Эти выражения называют также двухвалентными тензорами, а пространство-произведение й — тензорным произведением пространств 21 и 23.
Вместо (1) можно также записать
т = Д] щЬь (2)
где Ь{ — произвольные элементы из 23. Таким образом, пространство й является прямой суммой подпространств щ23:
Й^Д + .-. + г^Д. (3)
Формула (3) показывает, что модуль й не зависит от выбора базиса в 'Д. Элементы т из й можно записывать в виде (2) и их сложение и умножение на элементы из Р можно определить без введения базиса в пространстве Д.
Равным образом, вместо (1) можно писать
1Ш -= У] акик. (4)
§ 94] ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СКРЕЩЕННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
341
Следовательно,
6 = 21ух 2(у„, (5)
и поэтому тензорное произведение 6 не зависит от выбора базиса в 21.
Согласно (3) модуль (? = 21x23 можно построить и тогда, когда 'Л — произвольное конечномерное векторное пространство, а 23 — произвольный Р-модуль. Точно так же модуль С можно построить с помощью (5), когда Л — произвольный Р-модуль, а 23—произвольное конечномерное векторное пространство.
Тензорное проиведение 21x23 модулей 2( и 23 можно определить и без использования базисов. Это инвариантное определение имеет смысл даже тогда, когда Р — коммутативное кольцо с единицей, а 21 и 23 — произвольные Р-модули, на которых единичный элемент из Р действует как единичный оператор. Поскольку нам здесь потребуется лишь случай, когда Р — поле, а 21 или 23 — конечномерное векторное пространство, ограничимся данным в начале определением, а по поводу общего случая отошлем читателя к книге: Бурбаки Н. Алгебра,—М.: Физматгиз, 1962, гл. III.
Тем же способом можно строить тензорные произведения из трех и большего числа векторных пространств:
21 х 23 х й = (21 х 23) х Є = 21 х (23 х й). (6)
2. Произведения алгебр. Если 21 и 23 —алгебры над полем Р, то можно построить модуль (5 = '21 х 23 и превратить его в алгебру, в которой произведения базисных элементов ій)ік определяются так:
Щ№л = (ы^а) (М/У/) = {и,и,) (ад). (7)
Нетрудно обойтись и без базисных элементов в '23, если записать элементы из 6 в виде (2) и положить
(Е и^Ь‘) (2 и№) = 2 іЩ-Ьф).
о /
Это можно выразить следующими словами: произведения базисных элементов щи} алгебры 21 строятся точно так, как они определяются в 21, но вместо Р в качестве кольца коэффициентов следует брать алгебру 23. Полученная алгебра будет обозначаться также через 2%. То же самое обозначение будет применяться и тогда, когда 23 является произвольным кольцом, содержащим поле Р в своем центре. Говоря коротко, алгебра 21^ является алгеброй с теми же базисными элементами, что и 21, но с кольцом коэффициентов 23.
Очевидно, имеет место изоморфизм
21 х 23 ^ 23 х 21,
342
АЛГЕБРЫ
[ГЛ. XIII
определяемый тем, что ищк отображается на щщ, затем это отображение продолжается по линейности на суммы (1).
